2026학년도 수능 30번

$10$개 주머니 중 공 $0$개·$1$개·$2$개인 주머니의 개수를 각각 $x$, $y$, $z$라 하면

$$x+y+z=10,\qquad y+2z=8\quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

조건 (가)에서 $y=4$ 또는 $y=6$입니다.

(ⅰ) $y=4$일 때

㉠에서 $x=4$, $z=2$입니다. 조건 (나)에 의해 공 $2$개인 주머니 $2$개의 양옆에는 공 $0$개인 주머니가 있어야 합니다.

공 $0$개인 주머니 $4$개를 나열하는 경우의 수는 $1$입니다. 그 사이·양 끝의 $5$곳 중 $2$곳을 택해 공 $2$개인 주머니 $2$개를 놓는 경우의 수는

$${}_{5}C_{2}=10$$

나머지 $3$곳에 공 $1$개인 주머니 $4$개를 중복을 허용하여 놓는 경우의 수는

$${}_{3}H_{4}={}_{6}C_{4}={}_{6}C_{2}=15$$

따라서 이 경우는 $1\times 10\times 15=150$가지입니다.

(ⅱ) $y=6$일 때

㉠에서 $x=3$, $z=1$입니다. 공 $2$개인 주머니 $1$개의 양옆에도 공 $0$개인 주머니가 있어야 합니다.

공 $0$개인 주머니 $3$개를 나열하는 경우의 수는 $1$입니다. 그 사이·양 끝의 $4$곳 중 $1$곳에 공 $2$개인 주머니를 놓는 경우의 수는

$${}_{4}C_{1}=4$$

나머지 $3$곳에 공 $1$개인 주머니 $6$개를 중복을 허용하여 놓는 경우의 수는

$${}_{3}H_{6}={}_{8}C_{6}={}_{8}C_{2}=28$$

따라서 이 경우는 $1\times 4\times 28=112$가지입니다.

합계

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

$$150+112=262$$

따라서 $\boxed{262}$예요.