2025학년도 6월 모평 30번

$f:X\to X$에 대해 조건을 정리합니다.

조건 (가)

$x+f(x)\in X$이므로 $f(x)\in X-x$이고, 또 $f(x)\in X$이어야 해요. $x$별로

$$\begin{aligned} &0\le f(-2)\le 2, && -1\le f(-1)\le 2, && -2\le f(0)\le 2, \\ &-2\le f(1)\le 1, && -2\le f(2)\le 0 \end{aligned}$$

(정수만 고르면 $f(-2)\in\{0,1,2\}$, $f(-1)\in\{-1,0,1,2\}$, $f(0)\in\{-2,-1,0,1,2\}$, $f(1)\in\{-2,-1,0,1\}$, $f(2)\in\{-2,-1,0\}$예요.)

조건 (나)

$x=-2,-1,0,1$에서 $f(x)\ge f(x+1)$이므로

$$f(-2)\ge f(-1)\ge f(0)\ge f(1)\ge f(2)$$

$f(0)$의 값으로 경우를 나눕니다.

(ⅰ) $f(0)=-2$일 때

$f(-2)\ge f(-1)\ge -2$인 순서쌍 $(f(-2),f(-1))$: $2+3+4=9$가지.

$f(0)=-2$이면 $f(1)\ge -2$, $f(2)\le f(1)$에서 $f(1)=f(2)=-2$만 가능 → $1$가지.

$$9\times 1=9$$

(ⅱ) $f(0)=-1$일 때

$(f(-2),f(-1))$: $9$가지.

$f(1)\ge f(2)$이고 $f(1)\in\{-2,-1,0,1\}$, $f(2)\in\{-2,-1,0\}$인 순서쌍: $1+2=3$가지.

$$9\times 3=27$$

(ⅲ) $f(0)=0$일 때

$f(-2)\ge f(-1)\ge 0$, $\{0,1,2\}$에서 중복 허용 $2$개 선택: ${}_{3}H_{2}={}_{4}C_{2}=6$.

$f(1)\ge f(2)$, $\{-2,-1,0\}$에서 중복 허용 $2$개 선택: $6$가지.

$$6\times 6=36$$

(ⅳ) $f(0)=1$일 때

$f(-2)\ge f(-1)\ge 1$, $\{1,2\}$에서 중복 허용 $2$개: ${}_{2}H_{2}={}_{3}C_{2}=3$.

$(f(1),f(2))$ 감소 수열: $1+2+3+3=9$가지.

$$3\times 9=27$$

(ⅴ) $f(0)=2$일 때

$f(-2)=f(-1)=2$로 $1$가지.

$(f(1),f(2))$: $9$가지.

$$1\times 9=9$$

합계

$$9+27+36+27+9=108$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{108}$예요.