2023학년도 수능 30번

(나)에서 $f(1)\le 1$, $f(10)\ge 10$이고 $f(1)\le f(10)$이므로 $f(1)=1$, **$f(10)=10$**이에요.

(다)에서 $f(5)=k$($1\le k\le 4$)이면 $f(6)=k+6$이고, 경우를 나눕니다.

(ⅰ) $f(5)=1$, $f(6)=7$

$f(1)\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le 1$이므로 $(f(2),f(3),f(4))=(1,1,1)$ $1$가지

$7\le f(7)\le f(8)\le f(9)\le f(10)=10$, $f(k)\ge k$를 만족하는 $(f(7),f(8),f(9))$는 $14$가지

$$1\times 14=14$$

(ⅱ) $f(5)=2$, $f(6)=8$

$1\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le 2$인 비감소 수열 $4$가지 ($={}_{2}H_{3}={}_{4}C_{3}$)

$8\le f(7)\le f(8)\le f(9)\le 10$, $f(k)\ge k$를 만족하는 $(f(7),f(8),f(9))$는 $9$가지

$$4\times 9=36$$

(ⅲ) $f(5)=3$, $f(6)=9$

$1\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le 3$인 비감소 수열 $9$가지

$(f(7),f(8),f(9))$는 $4$가지 ($={}_{2}H_{3}={}_{4}C_{3}$)

$$9\times 4=36$$

(ⅳ) $f(5)=4$, $f(6)=10$

$1\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le 4$인 비감소 수열 $14$가지

$f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=10$만 가능하므로 $1$가지

$$14\times 1=14$$

합계

$$14+36+36+14=100$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{100}$예요.