2022학년도 9월 모평 30번

나눠 주는 개수를 각각 $1$ 이상의 정수로 두면, 합이 $14$(짝수)일 때 짝수 개를 받는 사람의 수는 $0,\ 2,\ 4$ 중 하나예요. (다)에 의해 “모두 홀수”는 불가능하므로, 짝수를 받는 사람이 $2$명이거나 $4$명인 경우만 세면 돼요.

(ⅰ) 짝수를 받는 사람이 정확히 $2$명인 경우

짝수를 받는 $2$명을 고르는 방법은 ${}_{4}\mathrm{C}_{2}$가지예요.

그중 한 경우로, $A,\,B$는 짝수 개, $C,\,D$는 홀수 개를 받는다고 하면, (가)에 따라 짝수 개는 $2$ 이상이므로

$$2+2a,\quad 2+2b,\quad 2c+1,\quad 2d+1\qquad (a,\,b,\,c,\,d\ge 0)$$

꼴로 둘 수 있어요. 합이 $14$이면

$$(2+2a)+(2+2b)+(2c+1)+(2d+1)=14$$

에서 $a+b+c+d=4$예요.

음이 아닌 정수 해의 개수는

$${}_{4}\mathrm{H}_{4}={}_{7}\mathrm{C}_{4}=35$$

이에요.

(나)에서 짝수를 받는 사람의 개수는 $2+2a\le 9$, 즉 $a\le 3$이어야 해요. $a+b+c+d=4$에서 $a=4$이면 $2+2a=10$이라 불가능하고, 이때 $(b,c,d)=(0,0,0)$ 하나뿐이에요. $b=4$인 경우도 마찬가지로 하나뿐이므로, 역조건을 빼면 $35-2=33$이에요.

따라서 이 경우의 수는

$${}_{4}\mathrm{C}_{2}\times 33=6\times 33=198$$

이에요.

(ⅱ) 네 사람 모두 짝수 개를 받는 경우

각각 $2+2a,\,2+2b,\,2+2c,\,2+2d$ ($a,\,b,\,c,\,d\ge 0$)로 두면

$$(2+2a)+(2+2b)+(2+2c)+(2+2d)=14$$

에서 $a+b+c+d=3$이에요. 해의 개수는

$${}_{4}\mathrm{H}_{3}={}_{6}\mathrm{C}_{3}=20$$

이에요. $a+b+c+d=3$이면 한 사람이 가질 수 있는 $a$의 최댓값은 $3$이라 $2+2a\le 8\le 9$이므로 (나)를 위반하는 경우는 없어요.

합산

$$198+20=218$$

이므로, 구하는 경우의 수는 $\boldsymbol{218}$이에요.

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다른 풀이. $A,\,B,\,C,\,D$가 받는 개수를 각각 $a,\,b,\,c,\,d$라 하면 (가)에서 $a+b+c+d=14$, $a,\,b,\,c,\,d\ge 1$이에요. $a=a'+1$ 등으로 두면 $a'+b'+c'+d'=10$ ($a',\,b',\,c',\,d'\ge 0$)이므로 경우의 수는

$${}_{4}\mathrm{H}_{10}={}_{13}\mathrm{C}_{3}=286$$

이에요.

(다)의 반대는 네 사람 모두 홀수 개를 받는 경우예요. $a=2a''+1$ 등으로 두면 $a''+b''+c''+d''=5$ ($a'',\,b'',\,c'',\,d''\ge 0$)이므로

$${}_{4}\mathrm{H}_{5}={}_{8}\mathrm{C}_{3}=56$$

가지예요. 따라서 (가)·(다)를 만족하는 경우는 $286-56=230$가지예요.

여기서 (나)를 어기려면 누군가 $10$개 이상 받아야 해요. 합이 $14$이고 각자 $1$ 이상이면 그런 배분은 본질적으로 $(10,\,2,\,1,\,1)$의 순열 뿐이에요. $1$이 두 번 나오므로 경우의 수는

$$\dfrac{4!}{2!}=12$$

이에요.

결국 $230-12=218$이므로 앞과 같아요.