2026학년도 6월 모평 30번

(가)에서의 부등식

$x=1,2,3,4$에 (가)를 대입하면

$$\begin{aligned} &f(2)+3\geq f(1)+1 &&\Rightarrow&& f(1)\leq f(2)+2 \\ &f(3)+3\geq f(2)+2 &&\Rightarrow&& f(2)\leq f(3)+1 \\ &f(4)+3\geq f(3)+3 &&\Rightarrow&& f(3)\leq f(4) \\ &f(5)+3\geq f(4)+4 &&\Rightarrow&& f(4)\leq f(5)-1 \end{aligned}$$

따라서

$$f(1)\leq f(2)+2\leq f(3)+3\leq f(4)+3\leq f(5)+2\qquad\cdots\cdots\text{㉠}$$

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$f(3)$, $f(4)$, $f(5)$ 세는 방법

㉠의 뒷부분 $f(2)\leq f(3)+1\leq f(4)\leq f(5)-1$에서

$$f(3)\leq f(4)\leq f(5)-1$$

$k\leq f(3)\leq f(4)\leq f(5)\leq 5$인 비내림차순 세 수 $(f(3),f(4),f(5))$의 수는 ${}_{n}H_{3}={}_{n+2}C_{3}$ ($n$은 사용 가능한 최댓값에 따라 $1$$n$ 또는 $2$$5$ 등)이고, $f(4)=f(5)$이면 $f(4)\leq f(5)-1$을 만족하지 않으므로 ${}_{n}H_{2}$만큼 빼요.

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(나)와 경우 나누기

$f(2)\in\{1,3,5\}$

(ⅰ) $f(2)=1$

$f(1)\leq 3$이므로 $f(1)\in\{1,2,3\}$ → $3$가지

$3\leq f(3)+3$이므로 $f(3)\geq 1$, 실질적으로 $f(3)\leq f(4)\leq f(5)-1$ ($1$~$5$에서)

$${}_{5}H_{3}-{}_{5}H_{2}={}_{7}C_{3}-{}_{6}C_{2}=35-15=20$$ $$3\times 20=60$$

(ⅱ) $f(2)=3$

$f(1)\leq 5$ → $f(1)$은 $5$가지

$5\leq f(3)+3$이므로 $f(3)\geq 2$, 값은 $2$~$5$에서

$${}_{4}H_{3}-{}_{4}H_{2}={}_{6}C_{3}-{}_{5}C_{2}=20-10=10$$ $$5\times 10=50$$

(ⅲ) $f(2)=5$

$f(1)\leq 7$이지만 $f(1)\in X$이므로 $5$가지

$7\leq f(3)+3$이므로 $f(3)\geq 4$, 값은 $4$, $5$만

$${}_{2}H_{3}-{}_{2}H_{2}={}_{4}C_{3}-{}_{3}C_{2}=4-3=1$$ $$5\times 1=5$$

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합계

$$60+50+5=115$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{115}$예요.