2026학년도 수능 28번

사건 $E$ (전체 공의 개수의 합이 홀수)

한 번 시행에서 넣는 공의 개수는

$$\begin{aligned} k=1,\,3,\,5 &: 3\text{개(홀수)} \\ k=4 &: 3\text{개(홀수)} \\ k=2,\,6 &: \text{짝수} \end{aligned}$$

눈 $1$, $3$, $4$, $5$가 나오는 사건을 $A$, $2$, $6$이 나오는 사건을 $B$라 하면 $P(A)=\dfrac{2}{3}$, $P(B)=\dfrac{1}{3}$입니다.

$4$번 시행 후 합이 홀수가 되려면 $A$가 $1$번·$B$가 $3$번, 또는 $A$가 $3$번·$B$가 $1$번이어야 합니다.

$$\begin{aligned} P(E) &={}_{4}C_{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)+{}_{4}C_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} \\ &=\dfrac{40}{81} \end{aligned}$$

사건 $C$ ($3$번 상자 $=$ $2$번 상자 $+1$)

$6$의 눈이 나오면 상자 $2$, $3$에 모두 공을 넣고, 짝수 $2$, $4$는 상자 $2$에, 홀수 $1$, $3$, $5$는 상자 $3$에 넣습니다. $6$이 나오는 횟수를 기준으로 $P(E\cap C)$를 구합니다.

(ⅰ) $6$이 $3$번 나오는 경우

상자 $2$, $3$에 각각 $3$개씩 있으므로, 나머지 $1$번은 반드시 홀수($1$, $3$, $5$)가 나와야 합니다.

$${}_{4}C_{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}\left(\dfrac{3}{6}\right)=\dfrac{12}{6^{4}}$$

(ⅱ) $6$이 $1$번 나오는 경우

상자 $2$, $3$에 각각 $1$개씩 있습니다. $E\cap C$를 만족하려면 $4$가 $1$번, 홀수가 $2$번 나와야 합니다.

$${}_{4}C_{1}\left(\dfrac{1}{6}\right){}_{3}C_{1}\left(\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{108}{6^{4}}$$

따라서

$$P(E\cap C)=\dfrac{12}{6^{4}}+\dfrac{108}{6^{4}}=\dfrac{120}{6^{4}}$$

조건부 확률

$$P(C\mid E)=\dfrac{P(E\cap C)}{P(E)}=\dfrac{\dfrac{120}{6^{4}}}{\dfrac{40}{3^{4}}}=\dfrac{3}{16}$$

따라서 정답은 ②예요.