2023학년도 6월 모평 30번

$b-a\ge 5$인 사건을 $E$, $c-a\ge 10$인 사건을 $F$라 하면

$$P(F\mid E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)}$$

이에요.

공 $3$개를 동시에 꺼내면 $a<b<c$로 정해지므로, 모든 $(a,b,c)$의 개수는

$${}_{12}C_{3}=220$$

사건 $E$ ($b-a\ge 5$)

$a$를 $1,2,\ldots,6$로 두고, $b\ge a+5$, $a<b<c\le 12$인 $(b,c)$를 세요.

$a$	$b$의 범위	$(b,c)$ 개수
$1$	$6\sim 11$	$6+5+4+3+2+1=21$
$2$	$7\sim 11$	$15$
$3$	$8\sim 11$	$10$
$4$	$9\sim 11$	$6$
$5$	$10,11$	$3$
$6$	$11$	$1$

합 $56$이므로

$$P(E)=\dfrac{56}{220}=\dfrac{14}{55}$$

사건 $E\cap F$ ($b-a\ge 5$이고 $c-a\ge 10$)

$c\ge a+10$이 추가로 필요해요.

• $a=1$, $c=11$: $b=6,7,8,9,10$ → $5$가지

• $a=1$, $c=12$: $b=6,7,8,9,10,11$ → $6$가지

• $a=2$, $c=12$: $b=7,8,9,10,11$ → $5$가지

합 $16$이므로

$$P(E\cap F)=\dfrac{16}{220}=\dfrac{4}{55}$$ $$P(F\mid E)=\dfrac{4/55}{14/55}=\dfrac{2}{7}$$

$p=7$, $q=2$이 서로소이므로

$$p+q=9$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{9}$예요.