2026학년도 6월 모평 28번

$5$번 시행 후 $B$에 들어 있는 공의 개수가 홀수인 사건을 $X$, $A$와 $C$에 들어 있는 공의 개수의 합이 $8$ 이상인 사건을 $Y$라 하면 구하는 확률은

$$P(Y\mid X)=\dfrac{P(X\cap Y)}{P(X)}$$

$5$번 중 $3$의 배수가 나온 횟수를 $x$라 하면, 한 번에 $B$에 $2$개(배수) 또는 $1$개(비배수)가 들어가므로

$$(\text{$B$의 개수})=2x+(5-x)=x+5$$

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$B$가 홀수일 때 ($X$)

$x+5$가 홀수이므로 $x=0$, $2$, $4$예요.

| $x$ | $B$의 개수 | $A+C$의 합 | $Y$ 성립 |

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| $0$ | $5$ | $(1+1)\times 5=10$ | 예 |

| $2$ | $7$ | $(1+0)\times 2+(1+1)\times 3=8$ | 예 |

| $4$ | $9$ | $(1+0)\times 4+(1+1)\times 1=6$ | 아니오 |

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확률 계산

$3$의 배수가 한 번 나올 확률은 $\dfrac{1}{3}$, 나오지 않을 확률은 $\dfrac{2}{3}$이에요.

$x=0$

$${}_{5}C_{0}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{0}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{5}=\dfrac{32}{243}$$

$x=2$

$${}_{5}C_{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{80}{243}$$

$x=4$

$${}_{5}C_{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1}=\dfrac{10}{243}$$ $$P(X)=\dfrac{32+80+10}{243}=\dfrac{122}{243}$$ $$P(X\cap Y)=\dfrac{32+80}{243}=\dfrac{112}{243}$$ $$P(Y\mid X)=\dfrac{112/243}{122/243}=\dfrac{112}{122}=\dfrac{56}{61}$$

따라서 정답은 ⑤예요.