2025학년도 6월 모평 28번

동전 $4$개를 ①, ②, ③, ④라 하고, 앞면을 $H$, 뒷면을 $T$로 표기해요. 처음 상태는 $(H,H,H,T)$이고, 시행을 $5$번 반복합니다.

한 번 뒤집으면 면이 바뀌므로, 끝에서 모두 같은 면이려면

• 모두 $H$: ④는 홀수 번, ①–③은 짝수 번 뒤집힘

• 모두 $T$: ①–③은 홀수 번, ④는 짝수 번 뒤집힘

①–④의 뒤집힌 횟수를 $(a,b,c,d)$($a+b+c+d=5$)라 하고, $5$번 시행의 선택 순서까지 세어 경우의 수를 구합니다.

(ⅰ) $5$회 후 모두 $H$일 때

①–③ 중 뒤집힌 횟수가 짝수, ④는 홀수인 $(a,b,c,d)$만 가능해요.

$1$ $(0,0,4,1)$

③만 $4$번(짝수), ④는 $1$번(홀수). ①–③ 중 $4$번 뒤집을 동전 선택: $3$가지. $H,H,H,H,T$ 배열: $\dfrac{5!}{4!}$

$$3\times\dfrac{5!}{4!}=15$$

$2$ $(0,2,2,1)$

①–③ 중 $2$번 뒤집을 동전 $2$개(각 $2$번), ④는 $1$번. 선택 $3$가지, $H,H,T,T,T$ 배열: $\dfrac{5!}{2!2!}$

$$3\times\dfrac{5!}{2!2!}=90$$

$3$ $(0,0,2,3)$

①–③ 중 $2$번 뒤집을 동전 $1$개, ④는 $3$번(홀수). 선택 $3$가지, $H,H,T,T,T$ 형태: $\dfrac{5!}{2!3!}$

$$3\times\dfrac{5!}{2!3!}=30$$

$4$ $(0,0,0,5)$

④만 $5$번(홀수). 순서는 $1$가지.

$$1$$

모두 $H$인 경우의 수:

$$15+90+30+1=136$$

(ⅱ) $5$회 후 모두 $T$일 때

①–③은 홀수 번, ④는 짝수 번 뒤집혀야 해요.

$1$ $(1,1,1,2)$

①, ②, ③ 각 $1$번(홀수), ④는 $2$번(짝수). $H,H,H,T,T$ 배열:

$$\dfrac{5!}{2!}=60$$

$2$ $(1,1,3,0)$

①–③ 중 $3$번 뒤집을 동전 $1$개, 나머지 $H$ 두 개는 각 $1$번, ④는 $0$번. 선택 $3$가지, $H,H,H,T,T$ 배열: $\dfrac{5!}{3!}$

$$3\times\dfrac{5!}{3!}=60$$

모두 $T$인 경우의 수:

$$60+60=120$$

조건부 확률

$5$회 후 네 면이 같을 때(모두 $H$ 또는 모두 $T$),

$$P(\text{모두 }H\mid\text{네 면 같음}) =\dfrac{136}{136+120} =\dfrac{136}{256} =\dfrac{17}{32}$$

따라서 정답은 ①예요.