2025학년도 9월 모평 28번

$X=\{1,2,3,4\}$에서 $a\mid b$이면 $f(a)\mid f(b)$예요.

$1$은 $2,3,4$의 약수이므로 $f(1)\mid f(2)$, $f(1)\mid f(3)$, $f(1)\mid f(4)$.

$2\mid 4$이므로 $f(2)\mid f(4)$.

$3$은 $2,4$의 약수가 아니고, $2$도 $3$의 약수가 아니므로 $f(2)$와 $f(3)$ 사이에는 (가)(나)로부터 추가 제약이 거의 없어요 ($f(1)$만 맞으면 됨).

$f(1)$의 값별로 경우를 나눕니다.

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(ⅰ) $f(1)=1$

$f(2)\in\{1,2,3,4\}$ ($4$가지). $f(2)\mid f(4)$에 따라 $f(4)$ 후보:

| $f(2)$ | 가능한 $f(4)$ | 개수 |

|--------|----------------|------|

| $1$ | $1,2,3,4$ | $4$ |

| $2$ | $2,4$ | $2$ |

| $3$ | $3$ | $1$ |

| $4$ | $4$ | $1$ |

$(f(2),f(4))$ 짝은 $4+2+1+1=8$가지.

$f(3)\in\{1,2,3,4\}$ ($4$가지, $f(1)=1$이면 항상 $1\mid f(3)$).

$$\text{함수 개수}=8\times 4=32$$

$f(4)$가 짝수 ($f(4)\in\{2,4\}$):

• $f(4)=2$: $f(2)\in\{1,2\}$ → $2$가지

• $f(4)=4$: $f(2)\in\{1,2,4\}$ → $3$가지

$(f(2),f(4))$ 짝 $5$가지 $\times$ $f(3)$ $4$가지 $=20$.

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(ⅱ) $f(1)=2$

$f(2),f(4)\in\{2,4\}$이고 $f(2)\mid f(4)$:

$$(2,2),\ (2,4),\ (4,4)\ \Rightarrow\ 3\text{가지}$$

$f(3)\in\{2,4\}$ ($2$가지).

$$\text{함수 개수}=3\times 2=6$$

이때 $f(4)\in\{2,4\}$만 나오므로 짝수 $f(4)$도 $6$.

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(ⅲ) $f(1)=3$

$f(2),f(3),f(4)$는 모두 $3$의 배수이면서 $X$의 원소 → $f(2)=f(3)=f(4)=3$ ($1$가지).

$f(4)=3$ (홀수) → 짝수인 경우 $0$.

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(ⅳ) $f(1)=4$

$f(2)=f(3)=f(4)=4$ ($1$가지). $f(4)=4$ (짝수) → $1$.

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확률

조건을 만족하는 $f$는 $32+6+1+1=40$개, 그중 $f(4)$가 짝수인 것은 $20+6+0+1=27$개.

$$\dfrac{27}{40}$$

따라서 정답은 ④예요.