2026학년도 수능 22번

점 $B(c,d)$라 하면 $A(a,b)$, $B(c,d)$는 각각

$$b=\log_{16}(8a+2),\qquad d=4^{c-1}-\dfrac{1}{2}$$

점 $A$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 $A'(b,a)$가 직선 $OB$ 위에 있으므로 $O$, $A'$, $B$는 한 직선 위에 있습니다. 따라서

$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\qquad (b\neq 0,\ c\neq 0)$$

이므로 $ac=bd$입니다. 상수 $k$에 대하여 $c=kb$, $d=ka$로 놓을 수 있습니다.

선분 $AB$의 중점이 $\left(\dfrac{77}{8},\dfrac{133}{8}\right)$이므로

$$\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{77}{8},\qquad \dfrac{b+d}{2}=\dfrac{133}{8}$$

에서 $a+c=\dfrac{77}{4}$, $b+d=\dfrac{133}{4}$입니다. $c=kb$, $d=ka$를 대입하면

$$a+kb=\dfrac{77}{4}\quad\cdots\cdots\text{㉠}$$ $$b+ka=\dfrac{133}{4}\quad\cdots\cdots\text{㉡}$$

$f(x)=\log_{16}(8x+2)$라 하면 점 $A'(b,a)$는 $y=f^{-1}(x)$ 위의 점입니다.

$$x=\log_{16}(8y+2)\ \Rightarrow\ 16^{x}=8y+2\ \Rightarrow\ f^{-1}(x)=2^{4x-3}-\dfrac{1}{4}$$

$g(x)=4^{x-1}-\dfrac{1}{2}$라 하면

$$g(2x)=4^{2x-1}-\dfrac{1}{2}=2\left(2^{4x-3}-\dfrac{1}{4}\right)=2f^{-1}(x)\quad\cdots\cdots\text{㉢}$$

$c=kb$, $d=ka$이고 $B$는 $y=g(x)$ 위의 점이므로 $g(kb)=ka$입니다. 한편 $a=f^{-1}(b)$이므로

$$g(kb)=k f^{-1}(b)=ka\quad\cdots\cdots\text{㉣}$$

㉢, ㉣에서 $kb=2b$, 즉 $k=2$입니다. ㉠, ㉡에 $k=2$를 대입하면

$$a+2b=\dfrac{77}{4},\qquad 2a+b=\dfrac{133}{4}$$

위 연립방정식을 풀면 $a=\dfrac{63}{4}$, $b=\dfrac{7}{4}$입니다. (제$1$사분면 조건도 만족합니다.)

$$a\times b=\dfrac{63}{4}\times\dfrac{7}{4}=\dfrac{441}{16}=\dfrac{q}{p}$$

$p=16$, $q=441$이므로 $p+q=\boxed{457}$예요.