2024학년도 6월 모평 7번

$y=\log_{2}(x-a)$의 그래프의 점근선은 $x=a$예요.

$x=a$에서 $y=\log_{2}\dfrac{x}{4}$와 만나는 점 $A$의 좌표는

$$A\left(a,\ \log_{2}\dfrac{a}{4}\right)$$

$x=a$에서 $y=\log_{\dfrac{1}{2}}x$와 만나는 점 $B$의 좌표는

$$B\left(a,\ \log_{\dfrac{1}{2}}a\right)$$

$a>2$이면 $\log_{2}\dfrac{a}{4}>\log_{2}\dfrac{2}{4}=-1$이고 $\log_{\dfrac{1}{2}}a<\log_{\dfrac{1}{2}}2=-1$이므로

$$\log_{2}\dfrac{a}{4}>\log_{\dfrac{1}{2}}a$$

같은 $x=a$에서의 세로 거리이므로 아래와 같아요.

$$\overline{AB} =\log_{2}\dfrac{a}{4}-\log_{\dfrac{1}{2}}a$$

$\log_{\dfrac{1}{2}}a=-\log_{2}a$이므로 아래와 같아요.

$$\overline{AB} =\log_{2}a-2-(-\log_{2}a) =2\log_{2}a-2$$

$\overline{AB}=4$이므로 아래와 같아요.

$$2\log_{2}a-2=4$$ $$2\log_{2}a=6,\qquad \log_{2}a=3$$ $$a=2^{3}=8$$

따라서 정답은 ③예요.