2022학년도 6월 모평 10번

진수 조건:

$\log_{n} x$에서 $x > 0$, $\log_{n}(x + 3)$에서

$x + 3 > 0$이므로 $x > -3$이에요.

겹치면 $x > 0$이면 충분해요.

두 곡선이 만나는 점에서는

$\log_{n} x = - \log_{n}(x + 3) + 1$

이에요. 오른변에 $1 = \log_{n} n$을 쓰면

$\log_{n} x$

$= \log_{n} n - \log_{n}(x + 3)$

$= \log_{n} \dfrac{n}{x + 3}$

이에요. $n \geq 2$이므로 $\log_{n}$은 일대일 대응이 되어

$x = \dfrac{n}{x + 3}$

양변에 $x + 3$($> 0$)을 곱하면

$x(x + 3) = n$

$x^{2} + 3x - n = 0$

이에요.

$f(x) = x^{2} + 3x - n$이라 하면 이 포물선은 아래로 볼록하고, $x^{2}$의 계수가 양수예요.

방정식 $f(x) = 0$의 양의 실근이 곧 교점의 $x$좌표인데, 문제는 그 값이 $1 < x < 2$가 되도록 하는 $n$을 찾는 거예요.

연속함수 $f$에 대해 $f(1) < 0$, $f(2) > 0$이면 사잇값 정리에 의해 구간 $(1,\ 2)$ 안에 $f(x) = 0$인 점이 적어도 하나 있어요. 또 이 이차방정식의 두 근의 곱이 $-n < 0$이므로 실근이 둘이면 하나는 음수, 하나는 양수뿐이에요. 따라서 $(1,\ 2)$ 안의 근은 하나로 정해져요.

조건은

$f(1) = 1 + 3 - n = 4 - n < 0$ 이므로 $n > 4$

$f(2) = 4 + 6 - n = 10 - n > 0$ 이므로 $n < 10$

이에요.

$n$은 $n \geq 2$인 자연수이므로

$n \in \{ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 \}$

이에요.

합은

$5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35$

이에요.

따라서 정답은 ②이에요.