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2022년 11월 수능 대수 > 1. 지수함수와 로그함수 > B. 지수함수와 로그함수 > 방정식과 부등식에의 활용 난이도

2022학년도 수능 13번

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문제

두 상수 $a$ , $b$ ( $1< a< b$ )에 대하여 좌표평면 위의\

두 점 $(a,\ \log _{2} a)$ , $(b,\ \log _{2} b)$ 를 지나는 직선의 $y$ 절편과\

두 점 $(a,\ \log _{4} a)$ , $(b,\ \log _{4} b)$ 를 지나는 직선의 $y$ 절편이 같다.\

함수 $f(x) = a^{bx} + b^{ax}$ 에 대하여 $f(1) = 40$ 일 때, $f(2)$ 의 값은? [4점]

정답 체크

선택지를 클릭하면 바로 채점됩니다.

힌트 및 풀이

STEP 힌트

두 점을 지나는 직선의 $y$ 절편은 $x=0$ 을 대입해 구할 수 있어요. $\log_{4}x=\dfrac{1}{2}\log_{2}x$ 임을 써서, 두 $y$ 절편이 같다는 조건을 $\log_{2}a$ , $\log_{2}b$ 만으로 적어 보세요.
$y$ 절편 조건을 정리하면 $a^{b}=b^{a}$ 가 나와요. $f(1)=a^{b}+b^{a}=40$ 과 함께 쓰면 $a^{b}$ 의 값을 구할 수 있습니다.
$f(2)=a^{2b}+b^{2a}=(a^{b})^{2}+(b^{a})^{2}$ 로 바꿀 수 있어요. $a^{b}$ 와 $b^{a}$ 가 같다는 점을 이용하세요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

두 점 $(a,\,\log_{2}a)$ , $(b,\,\log_{2}b)$ 를 지나는 직선은

y=\dfrac{\log_{2}b-\log_{2}a}{b-a}(x-a)+\log_{2}a

이에요. $x=0$ 을 대입하면 $y$ 절편은

-\dfrac{a(\log_{2}b-\log_{2}a)}{b-a}+\log_{2}a \quad\cdots\cdots\text{㉠}

이에요.

$\log_{4}x=\dfrac{1}{2}\log_{2}x$ 이므로, 두 점 $(a,\,\log_{4}a)$ , $(b,\,\log_{4}b)$ 를 지나는 직선의 $y$ 절편은

-\dfrac{a(\log_{4}b-\log_{4}a)}{b-a}+\log_{4}a =-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a(\log_{2}b-\log_{2}a)}{b-a}+\dfrac{1}{2}\log_{2}a \quad\cdots\cdots\text{㉡}

이에요.

㉠과 ㉡이 같으므로

-\dfrac{a(\log_{2}b-\log_{2}a)}{b-a}+\log_{2}a =-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a(\log_{2}b-\log_{2}a)}{b-a}+\dfrac{1}{2}\log_{2}a

양변에 $2$ 를 곱하고 정리하면

\log_{2}a=\dfrac{a(\log_{2}b-\log_{2}a)}{b-a}

이에요. $(b-a)\log_{2}a=a(\log_{2}b-\log_{2}a)$ 에서

\log_{2}a^{\,b-a}=a\log_{2}\dfrac{b}{a}=\log_{2}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{a}

이므로

a^{\,b-a}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{a}, \qquad a^{b-a}\cdot a^{a}=b^{a}

a^{b}=b^{a} \quad\cdots\cdots\text{㉢}

이에요.

한편 $f(x)=a^{bx}+b^{ax}$ 이고 $f(1)=40$ 이므로

f(1)=a^{b}+b^{a}=40

㉢에 의해 $a^{b}=b^{a}$ 이므로

2a^{b}=40, \qquad a^{b}=20, \qquad b^{a}=20

이에요.

따라서

f(2)=a^{2b}+b^{2a}=(a^{b})^{2}+(b^{a})^{2}=20^{2}+20^{2}=800

따라서 정답은 ②예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

59회 (13.1%)

개념 출제

13회 (2.9%)

개념 출제 (회차 기준)

12회 (80.0%)

같은 개념의 평균 난이도는 1.62 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 1 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 8회 입니다.

난이도 1: 10회 난이도 2: 0회 난이도 3: 1회 난이도 4: 2회 난이도 5: 0회

2022학년도 수능 13번

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출제 경향

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