2025학년도 6월 모평 14번

$\log_{2}\sqrt{-n^{2}+10n+75}-\log_{4}(75-kn)$에서

$$\log_{2}\sqrt{-n^{2}+10n+75}=\log_{4}(-n^{2}+10n+75)$$

진수 조건

$$-n^{2}+10n+75>0,\quad 75-kn>0$$

$n^{2}-10n-75<0$에서 $(n+5)(n-15)<0$, $1\le n\le 14$($n$은 자연수).

$kn<75$에서 $n<\dfrac{75}{k}$

$$\cdots\cdots\text{㉠}$$

값이 양수

$$\log_{4}(-n^{2}+10n+75)>\log_{4}(75-kn)$$

밑이 $4$($>1$)이므로 아래와 같아요.

$$-n^{2}+10n+75>75-kn \quad\Rightarrow\quad n(n-k-10)<0$$

자연수 $n$에 대해 $1\le n<k+10$

$$\cdots\cdots\text{㉡}$$

(ⅰ) $k+10>\dfrac{75}{k}$일 때 ($k>5$)

상한은 $n<\dfrac{75}{k}$예요. $n$이 $12$개이려면 아래와 같아요.

$$12<\dfrac{75}{k}\le 13 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{75}{13}\le k<\dfrac{75}{12}$$

자연수 $k=6$.

(ⅱ) $k+10\le\dfrac{75}{k}$일 때 ($1\le k\le 5$)

상한은 $n<k+10$이에요. $n$이 $12$개이려면 아래와 같아요.

$$12<k+10\le 13 \quad\Rightarrow\quad 2<k\le 3$$

자연수 $k=3$.

합계

조건을 만족하는 $k$는 $6$, $3$이므로 아래와 같아요.

$$6+3=9$$

따라서 정답은 ④예요.