2026학년도 9월 모평 22번

곡선 $y=\log_2 x$ 위의 두 점을 $A(a,\log_2 a)$, $B(b,\log_2 b)$ $(a\neq b)$라 하겠습니다.

$y$절편

점 $A$에서 $y=x$에 내린 수선의 발이 $P$이므로 직선 $AP$의 기울기는 $-1$입니다. 직선 $AP$의 방정식은

$$y=-x+a+\log_2 a$$

따라서 $y$절편은 $a+\log_2 a$입니다.

점 $B$를 $y=x$에 대해 대칭이동한 점은 $Q(\log_2 b,\ b)$이고, 직선 $BQ$의 기울기도 $-1$입니다. 직선 $BQ$의 $y$절편은 $b+\log_2 b$입니다.

(가), (나)로 $a$, $b$ 구하기

조건 (가)에서

$$(a-b)+(\log_2 a-\log_2 b)=\dfrac{13}{2} \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

조건 (나)에서

$$\dfrac{\log_2 a-\log_2 b}{a-b}=\dfrac{6}{7} \quad\Rightarrow\quad \log_2\dfrac{a}{b}=\dfrac{6}{7}(a-b) \quad\cdots\cdots \text{㉡}$$

㉡을 ㉠에 대입하면

$$\begin{aligned} (a-b)+\dfrac{6}{7}(a-b)&=\dfrac{13}{2} \\ \dfrac{13}{7}(a-b)&=\dfrac{13}{2} \\ a-b&=\dfrac{7}{2} \end{aligned}$$

㉡에 다시 대입하면

$$\begin{aligned} \log_2\dfrac{a}{b}&=\dfrac{6}{7}\times\dfrac{7}{2}=3 \\ \dfrac{a}{b}&=8 \end{aligned}$$

$a=8b$이고 $a-b=\dfrac{7}{2}$이므로 $b=\dfrac{1}{2}$, $a=4$입니다. 따라서

$$A(4,2),\quad B\!\left(\dfrac{1}{2},-1\right)$$

점 $P$, $Q$

직선 $AP$는 $y=-x+6$이고, $y=x$와의 교점이 $P$이므로 $P(3,3)$입니다.

대칭이동으로 $Q\!\left(-1,\dfrac{1}{2}\right)$입니다.

사각형 $APQB$의 넓이

직선 $AP$와 $BQ$의 기울기가 모두 $-1$이므로 사각형 $APQB$는 사다리꼴입니다.

$$\begin{aligned} \overline{AP}&=\sqrt{(4-3)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{2} \\ \overline{BQ}&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}+1\right)^{2}+\left(-1-\dfrac{1}{2}\right)^{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$

두 평행직선 $x+y-6=0$, $x+y+\dfrac{1}{2}=0$ 사이의 거리는

$$\begin{aligned} h&=\dfrac{\left|4+2+\dfrac{1}{2}\right|}{\sqrt{2}} \\ &=\dfrac{13}{2\sqrt{2}} \end{aligned}$$

따라서

$$\begin{aligned} \square APQB &=\dfrac{1}{2}(\overline{AP}+\overline{BQ})\times h \\ &=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{13}{2\sqrt{2}} \\ &=\dfrac{65}{8} \end{aligned}$$

$p=8$, $q=65$이므로

$$\begin{aligned} p+q&=8+65 \\ &=73 \end{aligned}$$

따라서 $p+q=\boxed{73}$예요.