2023학년도 수능 21번

$g(t)$는 $y=f(x)$와 $y=t$의 서로 다른 교점의 개수와 같아요.

$x<0$에서 $y=|3^{x+2}-n|$

$y=3^{x+2}-n$은 $y=3^{x}$를 $x$축 방향 $-2$, $y$축 방향 $-n$만큼 평행이동한 그래프예요.

$y=|3^{x+2}-n|$은 점 $(0,\,|9-n|)$을 지나고, $x\to -\infty$일 때 $y\to n$($y=n$이 점근선)이에요.

$1\le n<9$일 때,

$n=9$일 때,

$n>9$일 때,

$x\ge 0$에서 $y=|\log_{2}(x+4)-n|$

$y=\log_{2}(x+4)-n$은 $y=\log_{2}x$를 $x$축 방향 $-4$, $y$축 방향 $-n$만큼 평행이동한 그래프예요.

$y=|\log_{2}(x+4)-n|$은 점 $(0,\,|2-n|)$을 지나고, 점근선은 $x=-4$예요.

$n=1$일 때,

$n=2$일 때,

$n>2$일 때,

$g(t)$의 최댓값

두 그래프를 이어 $y=f(x)$를 그리면 다음과 같아요.

$g(t)$의 최댓값이 $4$가 되려면, $x<0$ 쪽에서 $n<9$($9-n>0$)이고 $x\ge 0$ 쪽에서 $n>2$($2-n<0$)이어야 해요.

$$2<n<9$$

따라서 자연수 $n$은 $3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8$이고,

$$3+4+5+6+7+8=33$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{33}$예요.