풀이 시간은 자동으로 기록됩니다. 헤더·메뉴를 숨기고 시험처럼 풀려면 집중 모드를 켜세요.

00:00

2026년 6월 모의평가 대수 > 1. 지수함수와 로그함수 > B. 지수함수와 로그함수 > 로그함수의 그래프 난이도

2026학년도 6월 모평 22번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

$k> 1$ 인 실수 $k$ 에 대하여 두 곡선

$y = 2^{x} + \dfrac{k}{2}$ , $y = k \times (\dfrac{1}{2})^{x} + k - 2$

가 만나는 점을 $A$ 라 하고, 점 $A$ 를 지나고 기울기가 $- 1$ 인 직선이 곡선 $y = 2^{x - 2} - 3$ 과 만나는 점을 $B$ 라 하자. 삼각형 $AOB$ 의 넓이가 $16$ 일 때, $k + \log _{2} k = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오.\

(단, $O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

두 곡선의 교점 $A$ 를 구할 때 $2^{x}=t$ ( $t>0$ )로 치환하면 $t$ 에 대한 이차방정식이 나와요. $k>1$ 인 범위에서 $t=\dfrac{k}{2}$ 를 고르세요.
$A$ 를 지나 기울기 $-1$ 인 직선 $y=-x+\log_{2}k+k-1$ 을 세우고, ㉠을 변형해 $y=2^{x+1}$ 과 $y=k(\dfrac{1}{2})^{x-1}+k-4$ 의 교점이 $A$ 임을 이용하면 $y=2^{x-2}-3$ 과의 교점 $B$ 의 $x$ 좌표를 평행이동으로 빠르게 잡을 수 있어요.
$A$ , $B$ 의 $x$ 좌표 차이가 $3$ 이므로 삼각형 $AOB$ 의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times(\log_{2}k+k-1)\times 3$ 으로 쓸 수 있어요. $16$ 과 같게 두고 $k+\log_{2}k=\dfrac{q}{p}$ 에서 $p+q$ 를 구하면 됩니다.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

점 $A$

두 곡선의 교점에서

2^{x}+\dfrac{k}{2}=k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+k-2\qquad\cdots\cdots\text{㉠}

$2^{x}=t$ ( $t>0$ )로 두면

t+\dfrac{k}{2}=\dfrac{k}{t}+k-2

양변에 $t$ 를 곱해 정리하면

2t^{2}+(4-k)t-2k=0,\qquad (2t-k)(t+2)=0

$t>0$ 이므로 $t=\dfrac{k}{2}$ , 즉 $2^{x}=\dfrac{k}{2}$ 에서

x=\log_{2}k-1

$y=k$ 이므로

A\left(\log_{2}k-1,\ k\right)

점 $B$

$A$ 를 지나고 기울기가 $-1$ 인 직선은

y=-\left(x-\log_{2}k+1\right)+k=-x+\log_{2}k+k-1\qquad\cdots\cdots\text{㉡}

㉠의 양변에 $2$ 를 곱하면

2^{x+1}+k=k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-1}+k-4

점 $A$ 는 $y=2^{x+1}$ 과 $y=k(\dfrac{1}{2})^{x-1}+k-4$ 의 교점이기도 해요.

$y=2^{x-2}-3$ 은 $y=2^{x+1}$ 을 $x$ 축 방향으로 $3$ 만큼, $y$ 축 방향으로 $-3$ 만큼 평행이동한 곡선이므로, 위 두 곡선의 교점 $A$ 를 같은 방식으로 옮기면 $B$ 의 $x$ 좌표는

(\log_{2}k-1)+3=\log_{2}k+2

㉡ 위의 점이므로

B\left(\log_{2}k+2,\ k-3\right)

넓이와 $p+q$

직선 ㉡의 $y$ 절편은 $\log_{2}k+k-1$ 이고, $A$ , $B$ 의 $x$ 좌표 차는 $3$ 이므로

\triangle AOB=\dfrac{1}{2}\times(\log_{2}k+k-1)\times 3 =\dfrac{3}{2}(\log_{2}k+k-1)

\dfrac{3}{2}(\log_{2}k+k-1)=16

\log_{2}k+k=\dfrac{32}{3}+1=\dfrac{35}{3}

따라서 $k+\log_{2}k=\dfrac{q}{p}=\dfrac{35}{3}$ ( $p=3$ , $q=35$ , 서로소)

p+q=38

따라서 구하는 값은 $\boxed{38}$ 예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

59회 (13.1%)

개념 출제

5회 (1.1%)

개념 출제 (회차 기준)

5회 (33.3%)

같은 개념의 평균 난이도는 4.20 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 5 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 4회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 1회 난이도 3: 0회 난이도 4: 1회 난이도 5: 3회

2026학년도 6월 모평 22번

문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

점 $A$

점 $B$

넓이와 $p+q$

출제 경향

관련 문제

2026학년도 9월 모평 22번

2026학년도 수능 22번

2023학년도 수능 21번

2024학년도 6월 모평 7번

2022학년도 9월 모평 21번

2022학년도 수능 13번

문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

점 AAA

점 BBB

넓이와 p+qp+qp+q

출제 경향

관련 문제

2026학년도 9월 모평 22번

2026학년도 수능 22번

2023학년도 수능 21번

2024학년도 6월 모평 7번

2022학년도 9월 모평 21번

2022학년도 수능 13번

점 $A$

점 $B$

넓이와 $p+q$