2022학년도 9월 모평 21번

$y=a^{x-1}$은 $y=a^x$를 $x$축 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프이고, $y=\log_a(x-1)$은 $y=\log_a x$를 같은 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프예요.

$y=a^x$와 $y=\log_a x$는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이므로, 평행이동 후에는 직선 **$y=x-1$**에 대하여 대칭이에요.

직선 $y=-x+4$의 기울기는 $-1$, $y=x-1$의 기울기는 $1$이니 두 직선은 서로 수직이에요. 대칭축이 수직인 직선과 만나는 두 교점 $A,\ B$는 그 대칭축에 대응하는 점들이라, $y=-x+4$와 $y=x-1$의 교점 $M$은 선분 $\overline{AB}$의 중점이에요.

$M$의 좌표는

$$-x+4=x-1 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac52,\quad y=\dfrac32$$

이니 $M\bigl(\dfrac52,\dfrac32\bigr)$이에요.

$\overline{AB}=2\sqrt{2}$이면 중점까지 거리는 $\overline{AM}=\sqrt{2}$예요. $A$는 $y=-x+4$ 위의 점이므로 $A(k,-k+4)$라 두면

$$\left(k-\dfrac52\right)^2+\left(-k+4-\dfrac32\right)^2 =\left(k-\dfrac52\right)^2+\left(-k+\dfrac52\right)^2 =2\left(k-\dfrac52\right)^2=2$$

이에요. 따라서 $\left|k-\dfrac52\right|=1$, 즉 $k=\dfrac32$ 또는 $k=\dfrac72$예요.

점 $A$는 $y=a^{x-1}$과의 교점인데, $a>1$이고 그림의 위치 관계로 $x$가 더 작은 쪽이 지수곡선 쪽에 해당해요. 따라서 $A\bigl(\dfrac32,\dfrac52\bigr)$이에요. 이 점에서 $y=a^{x-1}$에 대입하면

$$\dfrac52=a^{\dfrac32-1}=a^{\dfrac12}$$

이니 $a^{\dfrac12}=\dfrac52$, 즉

$$a=\dfrac{25}{4}$$

이에요.

$y=a^{x-1}$과 $y$축의 교점 $C$는 $x=0$일 때

$$y=a^{-1}=\dfrac{4}{25}$$

이므로 $C\bigl(0,\dfrac{4}{25}\bigr)$이에요.

직선 $y=-x+4$, 즉 $x+y-4=0$과 점 $C$ 사이의 거리는

$$d=\dfrac{|0+\dfrac{4}{25}-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{96/25}{\sqrt2}=\dfrac{48\sqrt2}{25}$$

이에요. 이는 $C$에서 직선 $AB$에 내린 수선의 길이와 같아요.

따라서

$$S=\dfrac12\cdot\overline{AB}\cdot d=\dfrac12\cdot 2\sqrt2\cdot\dfrac{48\sqrt2}{25}=\dfrac{96}{25}$$

이에요. 그러면

$$50S=50\times\dfrac{96}{25}=192$$

이에요.

구하는 값은 $\boxed{192}$예요.