2022학년도 수능 9번

점 $P$, $Q$의 $x$좌표를 각각 $p$, $q$($p<q$)라 하면, 두 점은 직선 $y=2x+k$ 위에 있으므로

$P(p,\,2p+k)$, $Q(q,\,2q+k)$

로 놓을 수 있어요.

$\overline{PQ}=\sqrt{5}$이므로 $\overline{PQ}^{2}=5$이고,

$$\overline{PQ}^{2}=(q-p)^{2}+\bigl((2q+k)-(2p+k)\bigr)^{2} =(q-p)^{2}+\{2(q-p)\}^{2} =5(q-p)^{2}$$

이에요. $q>p$이므로 $q-p>0$이고, $5(q-p)^{2}=5$에서

$q-p=1$, 즉 $q=p+1$

이에요.

점 $P$는 $y=(\dfrac{2}{3})^{x+3}+1$ 위에 있으므로

$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+3}+1=2p+k \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

점 $Q$는 $y=(\dfrac{2}{3})^{x+1}+\dfrac{8}{3}$ 위이고 $q=p+1$이므로

$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+2}+\dfrac{8}{3}=2(p+1)+k=2p+k+2 \quad\cdots\cdots\text{㉡}$$

㉡에서 ㉠을 빼면 $k$가 없어져요.

$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+2}+\dfrac{8}{3}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+3}-1=2$$

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+2}$을 묶으면

$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+2}\left(1-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{8}{3}-1 =\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+2}+\dfrac{5}{3}=2$$

양변에 $3$을 곱하면

$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+2}+5=6$$ $$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+2}=1$$

밑이 $\dfrac{2}{3}$이므로 $p+2=0$, 즉 $p=-2$예요.

㉠에 $p=-2$를 대입하면

$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2+3}+1=2(-2)+k$$ $$\dfrac{2}{3}+1=-4+k$$ $$\dfrac{5}{3}=-4+k$$ $$k=\dfrac{5}{3}+4=\dfrac{5}{3}+\dfrac{12}{3}=\dfrac{17}{3}$$

(검산) $P(-2,\,\dfrac{5}{3})$, $Q(-1,\,\dfrac{11}{3})$이고, $\overline{PQ}^{2}=1^{2}+2^{2}=5$이므로 조건을 만족해요.

따라서 정답은 ④예요.