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2025년 9월 모의평가 대수 > 1. 지수함수와 로그함수 > B. 지수함수와 로그함수 > 그래프에서 도형의 성질 난이도

2025학년도 9월 모평 14번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y = 2^{x}$ 위의 두 점 $A_{n}$ , $B_{n}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

조건

(가) 직선 $A_{n}B_{n}$ 의 기울기는 $3$ 이다.

(나) $\overline{A_{n}B_{n}} = n \times \sqrt{10}$

중심이 직선 $y = x$ 위에 있고 두 점 $A_{n}$ , $B_{n}$ 을 지나는 원이 곡선 $y = \log _{2}x$ 와 만나는 두 점의 $x$ 좌표 중 큰 값을 $x_{n}$ 이라 하자.\

$x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 의 값은? [4점]

① $\dfrac{150}{7}$ ② $\dfrac{155}{7}$ ③ $\dfrac{160}{7}$

정답 체크

\dfrac{165}{7}

\dfrac{170}{7}

선택지를 클릭하면 바로 채점됩니다.

힌트 및 풀이

STEP 힌트

$x$ 좌표가 더 작은 점을 $A_{n}$ 으로 두고 $A_{n}(\alpha_{n},2^{\alpha_{n}})$ 로 놓아요. 기울기 $3$ 이고 거리가 $n\sqrt{10}$ 이면 가로·세로 변화량이 각각 $n$ , $3n$ 인 직각삼각형을 떠올릴 수 있어요.
조건에서 $B_{n}(\alpha_{n}+n,\,2^{\alpha_{n}}+3n)$ 으로 좌표를 쓸 수 있어요. $B_{n}$ 이 $y=2^{x}$ 위에 있으니 $2^{\alpha_{n}}+3n=2^{\alpha_{n}+n}$ 을 풀어 $2^{\alpha_{n}}$ 을 $n$ 으로 나타내 보세요.
$y=2^{x}$ 와 $y=\log_{2}x$ 는 역함수라서, $y=x$ 에 대해 $A_{n}$ 과 만나는 점 $C_{n}$ , $B_{n}$ 과 대칭인 점 $D_{n}$ 의 $x$ 좌표를 구할 수 있어요. 문제에서 $x_{n}$ 은 $D_{n}$ 의 $x$ 좌표예요.
$x_{n}=2^{\alpha_{n}}+3n=\dfrac{3n\cdot 2^{n}}{2^{n}-1}$ 로 정리한 뒤 $n=1,2,3$ 을 대입해 $x_{1}+x_{2}+x_{3}$ 을 구하면 돼요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

$x$ 좌표가 더 작은 점을 $A_{n}$ 으로 두고, $A_{n}$ 의 $x$ 좌표를 $\alpha_{n}$ 이라 해요.

A_{n}\bigl(\alpha_{n},\,2^{\alpha_{n}}\bigr)

중심이 $y=x$ 위에 있고 $A_{n}$ , $B_{n}$ 을 지나는 원이 $y=\log_{2}x$ 와 만나는 두 점 중 $x$ 좌표가 큰 점을 $D_{n}$ 이라 하면, 문제의 $x_{n}$ 은 $D_{n}$ 의 $x$ 좌표예요.

조건 (가), (나)로 $B_{n}$ 좌표 구하기

기울기가 $3$ 이고 $\overline{A_{n}B_{n}}=n\sqrt{10}$ 이므로, 가로·세로 변화량이 $n$ , $3n$ 인 직각삼각형이 돼요.

\overline{A_{n}B_{n}}=\sqrt{n^{2}+(3n)^{2}}=n\sqrt{10}

따라서

B_{n}\bigl(\alpha_{n}+n,\,2^{\alpha_{n}}+3n\bigr)

$B_{n}$ 은 $y=2^{x}$ 위의 점이므로

2^{\alpha_{n}}+3n=2^{\alpha_{n}+n}

2^{\alpha_{n}}(2^{n}-1)=3n \quad\Rightarrow\quad 2^{\alpha_{n}}=\dfrac{3n}{2^{n}-1}

역함수 대칭과 $x_{n}$

$y=2^{x}$ 와 $y=\log_{2}x$ 는 역함수이므로 $y=x$ 에 대해 $A_{n}$ 과 대칭인 점 $C_{n}$ 은

C_{n}\bigl(2^{\alpha_{n}},\,\alpha_{n}\bigr)

$B_{n}$ 과 대칭인 점 $D_{n}$ 은

D_{n}\bigl(2^{\alpha_{n}}+3n,\,\alpha_{n}+n\bigr)

원과 $y=\log_{2}x$ 의 교점 중 $x$ 좌표가 큰 점이 $D_{n}$ 이므로

x_{n}=2^{\alpha_{n}}+3n =\dfrac{3n}{2^{n}-1}+3n =\dfrac{3n\cdot 2^{n}}{2^{n}-1}

$x_{1}+x_{2}+x_{3}$

\begin{aligned} x_{1}&=\dfrac{3\cdot 2}{2-1}=6, \\ x_{2}&=\dfrac{3\cdot 2\cdot 4}{4-1}=8, \\ x_{3}&=\dfrac{3\cdot 3\cdot 8}{8-1}=\dfrac{72}{7} \end{aligned}

x_{1}+x_{2}+x_{3} =6+8+\dfrac{72}{7} =\dfrac{170}{7}

따라서 정답은 ⑤예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

59회 (13.1%)

개념 출제

7회 (1.6%)

개념 출제 (회차 기준)

7회 (46.7%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.71 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 3회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 2회 난이도 4: 5회 난이도 5: 0회

2025학년도 9월 모평 14번

문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

조건 (가), (나)로 $B_{n}$ 좌표 구하기

역함수 대칭과 $x_{n}$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}$

출제 경향

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2022학년도 수능 9번

2026학년도 6월 모평 10번

문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

조건 (가), (나)로 BnB_{n}Bn​ 좌표 구하기

역함수 대칭과 xnx_{n}xn​

x1+x2+x3x_{1}+x_{2}+x_{3}x1​+x2​+x3​

출제 경향

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2022학년도 수능 9번

2026학년도 6월 모평 10번

조건 (가), (나)로 $B_{n}$ 좌표 구하기

역함수 대칭과 $x_{n}$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}$