2023학년도 9월 모평 21번

$2^{a} : 2^{b} = 1 : 4$에서 $2^{b} = 2^{a + 2}$, $b = a + 2 P( a, 2^{a}), Q( a + 2, 2^{a + 2})$라 할 때,

기울기 $m = \dfrac{2^{a + 2} - 2^{a}}{2} = 3 \times 2^{a - 1}$

직선 $AB$의 방정식은

$y = - 3 \times 2^{a - 1}(x - a) + 2^{a}$에서 $y$절편은

$3a \times 2^{a - 1} + 2^{a}$

닮음비에 따라 $3a \times 2^{a - 1} + 2^{a}: 2^{a} = 4: 3$가 성립하므로

$2^{a + 2} = 9a \times 2^{a - 1} + 3 \times 2^{a}$,

$2^{a}$으로 양변을 나눠주면

$4 = \dfrac{9}{2}a + 3, a = \dfrac{2}{9}$,

$b = a + 2$이므로 $b = \dfrac{20}{9} \therefore 90 \times (a + b) = 90 \times \dfrac{22}{9} = 220$