2026학년도 수능 21번

$f(t)=0$과 $f(x)$의 형태

$g(x)$가 $x=t$에서 연속이므로 $-f(t)=f(t)$, 즉 $f(t)=0$입니다.

(가)에서 $x=0$, $x=2$일 때 분모가 $0$이 되므로 극한이 존재하려면 $g(0)=0$, $g(2)=0$입니다. $g(c)=0$이면 $f(c)=0$이므로 $f(0)=0$ 또는 $f(2)=0$입니다.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로

$$f(x)=kx(x-2)(x-\alpha)\quad (k>0)$$

㉠에 의해 $t=0$, $t=2$, $t=\alpha$ 중 하나입니다.

$t=0$, $t=\alpha$는 불가

$t=0$ 또는 $t=\alpha$일 때 (나)를 만족하는 $\alpha$가 존재하지 않습니다.

$t=\alpha$이면 $g(x)=kx(x-2)|x-\alpha|$이므로

$$\lim_{x\to m+}\dfrac{g(x)}{x(x-2)}=k|m-\alpha|\ge 0$$

(나)를 만족하지 않습니다.

$t=2$일 때

$$g(x)= \begin{cases} -kx(x-2)(x-\alpha) & (x<2) \\ kx(x-2)(x-\alpha) & (x\ge 2) \end{cases}$$

$m=1$일 때 $k(\alpha-1)$, $m=2$일 때 $k(2-\alpha)$, $m\ge 3$일 때 $k(m-\alpha)$입니다. 이 값이 음수가 되려면

$$\alpha>2,\quad m\ge 3,\quad m<\alpha$$

자연수 $m$의 집합 원소가 $2$개이므로 $m\in\{2,3\}$, $3<\alpha\le 4$입니다.

$g(-1)=-f(-1)=-3k(1+\alpha)$, $g(1)=f(1)=k(\alpha-1)$이므로

$$\{g(-1),-\tfrac{7}{2}g(1)\}=\{3,2\}$$

를 만족하면 $g(-1)=3$, $-\dfrac{7}{2}g(1)=2$입니다. 따라서

$$\begin{aligned} 3k(1+\alpha)&=3 \\ \tfrac{7}{2}k(\alpha-1)&=2 \end{aligned}$$

에서 $\alpha=\dfrac{11}{3}$, $k=\dfrac{3}{14}$입니다.

$$f(x)=\dfrac{3}{14}x(x-2)\left(x-\dfrac{11}{3}\right)$$

$g(-5)$

$x<2$이므로 $g(-5)=-f(-5)$입니다.

$$\begin{aligned} g(-5) &=-\dfrac{3}{14}\times(-5)\times(-7)\times\left(-\dfrac{26}{3}\right) \\ &=65 \end{aligned}$$

따라서 $g(-5)=\boxed{65}$예요.