2022학년도 수능 12번

주어진 식

$$\{f(x)\}^{3}-\{f(x)\}^{2}-x^{2}f(x)+x^{2}=0$$

을 인수분해하면

$$\{f(x)-x\}\{f(x)+x\}\{f(x)-1\}=0$$

이므로, 각 실수 $x$에 대하여

$$f(x)=x, \quad f(x)=-x, \quad \text{또는} \quad f(x)=1$$

중 하나예요.

$x=0$일 때 $f(0)=0$ 또는 $f(0)=1$이에요.

(ⅰ) $f(0)=1$인 경우

연속이고 최댓값이 $1$이면, $0$ 근처에서 $f(x)=x$나 $f(x)=-x$로 바뀌면 $f(0)=0$이 되어 모순이므로, 실수 전체에서 $f(x)=1$이어야 해요. 그러면 최솟값도 $1$이라 최솟값 $0$ 조건을 만족하지 않아요.

(ⅱ) $f(0)=0$인 경우

연속이고 최댓값 $1$, 최솟값 $0$을 만족하려면 다음과 같이 정의할 수 있어요.

$$f(x)= \begin{cases} |x| & (|x|\le 1) \\ 1 & (|x|>1) \end{cases}$$

검산해 볼게요.

$|x|\le 1$에서 $f(x)=|x|$이면 $f(x)-x$와 $f(x)+x$ 중 하나는 $0$이고, $|x|\ne 1$이면 $f(x)-1\ne 0$이어도 앞의 인수가 $0$이 돼요. $x=\pm 1$에서는 $f(x)=1$이라 $f(x)-1=0$이에요.

$|x|>1$에서 $f(x)=1$이면 $f(x)-1=0$이에요.

$|x|=1$에서 $|x|$와 $1$이 맞닿아 연속이고, $|x|>1$에서도 $f(x)=1$로 연속이에요.

따라서 (ⅱ)의 $f(x)$가 조건을 만족해요.

값을 구하면

$$f\!\left(-\dfrac{4}{3}\right)=1 \quad\left(\left|-\dfrac{4}{3}\right|>1\right), \qquad f(0)=0, \qquad f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$$ $$f\!\left(-\dfrac{4}{3}\right)+f(0)+f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) =1+0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$$

따라서 정답은 ③예요.