2023학년도 수능 14번

ㄱ

$x>1$이면 $t\to 0+$일 때 $g(1+t)=1+t$, $t\to 2+$일 때 $g(1+t)=1+t$($1+t>1$)이므로

$$h(1)=\lim_{t\to 0+}(1+t)\times\lim_{t\to 2+}(1+t)=1\times 3=3$$

ㄱ은 참이에요.

ㄴ

$f(x)=2$($-1\le x\le 1$)로 두면 $x<-1$에서 $g(x)=x$, $-1\le x\le 1$에서 $g(x)=2$예요.

• $-3<x<-1$: $h(x)=x\cdot g(x+2)=x\cdot 2=2x$
• $x=-1$: $h(-1)=2\times g(1)=2\times 1=2$
• $-1<x<1$: $h(x)=2\cdot g(x+2)=2(x+2)$

$$\lim_{x\to -1-}h(x)=\lim_{x\to -1-}2x=-2,\qquad \lim_{x\to -1+}h(x)=\lim_{x\to -1+}2(x+2)=2$$

$h(-1)=2$이지만 좌극한 $\neq$ 우극한이므로 $x=-1$에서 불연속이에요.

ㄴ은 거짓이에요.

ㄷ

$g$가 $[-1,\,1]$에서 감소하고 $g(-1)=-2$이도록 $f(x)=-x-3$($f(-1)=-2$)로 둡니다.

구간별로 $h(x)$를 쓰면 (요약)

• $x<-3$: $h(x)=x(x+2)$
• $x=-3$: $h(-3)=6$
• $-3<x<-1$: $h(x)=-x(x+5)$
• $x=-1$: $h(-1)=-2$
• $-1<x<1$: $h(x)=-(x+3)(x+2)$
• $x=1$: $h(1)=3$
• $x>1$: $h(x)=x(x+2)$

$$\lim_{x\to 1-}h(x)=-(1+3)(1+2)=-12,\qquad h(1)=3$$

$x\to 1-$에서 $h(x)\to -12$이고 $x\to -\infty$에서 $h(x)=x(x+2)\to -\infty$이므로 아래로 제한되지 않아 최솟값이 없어요.

ㄷ은 거짓이에요.

옳은 것은 ㄱ뿐이므로 정답은 ①예요.