2026학년도 6월 모평 21번

첫 번째 극한과 $g(1)$, $g(2)$

$f(x)=0$에서 $x=1$ 또는 $x=2$예요.

$a=1$

$x\to 1-$일 때 $f(x)>0$이므로 $\dfrac{g|f|}{f}=g(x)$, $x\to 1+$일 때 $f(x)<0$이므로 $\dfrac{g|f|}{f}=-g(x)$예요.

극한이 존재하려면

$$\lim_{x\to 1-}g(x)=-\lim_{x\to 1+}g(x)=\lim_{x\to 1}g(x)$$

따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)=0$, 즉 $g(1)=0$이에요.

$a=2$

$x\to 2-$일 때 $f(x)<0$, $x\to 2+$일 때 $f(x)>0$이므로 같은 방식으로

$$\lim_{x\to 2}g(x)=0,\qquad g(2)=0$$

$g$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이므로

$$g(x)=(x-1)(x-2)h(x)=f(x)h(x)$$

($h(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차식)

---

두 번째 극한과 $h(1)$, $h(2)$

$g(x)=f(x)h(x)$이므로

$$\dfrac{|g(x)-f(x)|}{g(x)}=\dfrac{|f(x)||h(x)-1|}{f(x)h(x)}$$

$a=1$

$x\to 1-$일 때 $f>0$, $x\to 1+$일 때 $f<0$이므로

$$\lim_{x\to 1-}\dfrac{|h(x)-1|}{h(x)}=-\lim_{x\to 1+}\dfrac{|h(x)-1|}{h(x)}$$

극한이 존재하려면 $h(1)\neq 0$이어야 하고, 위 식에서 $h(1)=1$이에요.

$a=2$

$x\to 2-$일 때 $f<0$, $x\to 2+$일 때 $f>0$이므로 같은 논리로 $h(2)\neq 0$이고 $h(2)=1$이에요.

---

$g(x)$와 $g(-1)$

$h(1)=h(2)=1$이고 $h$의 최고차항 계수가 $1$이므로

$$h(x)=(x-1)(x-2)+1$$ $$g(x)=f(x)h(x)=(x-1)(x-2)\{(x-1)(x-2)+1\} =(x-1)^{2}(x-2)^{2}+(x-1)(x-2)$$ $$g(-1)=(-2)^{2}(-3)^{2}+(-2)(-3)=36+6=42$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{42}$예요.