2022학년도 6월 모평 8번

$f(x)$는 $x < a$일 때 $-2x + 6$, $x \geq a$일 때 $2x - a$로 정의되어 있어요. 각 조각은 일차함수이므로 $x \neq a$인 구간에서는 $f(x)$도 연속이고, 따라서 $\{ f(x) \}^{2}$도 연속이에요.

그래서 $\{ f(x) \}^{2}$가 실수 전체에서 연속이 되려면, 정의가 바뀌는 점 $x = a$에서만 연속 조건을 만족하면 돼요.

$x = a$에서 $\{ f(x) \}^{2}$가 연속이려면

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a -} \{ f(x) \}^{2} = \lim_{x \rightarrow a +} \{ f(x) \}^{2} = \{ f(a) \}^{2}$

이 성립해야 해요.

$x > a$에 가까워질 때는 $f(x) = 2x - a$를 쓰면 되므로

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a +} \{ f(x) \}^{2} = \lim_{x \rightarrow a +} (2x - a)^{2} = (2a - a)^{2} = a^{2}$

이에요.

$x < a$에 가까워질 때는 $f(x) = -2x + 6$이므로

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a -} \{ f(x) \}^{2} = \lim_{x \rightarrow a -} (-2x + 6)^{2} = (-2a + 6)^{2}$

이에요.

또 $x \geq a$에서의 식에 $x = a$를 대입하면 $f(a) = 2a - a = a$이므로

$\{ f(a) \}^{2} = a^{2}$

이에요.

연속 조건에 따라

$a^{2} = (-2a + 6)^{2}$

이어야 해요. 양변을 전개하면

$a^{2} = 4a^{2} - 24a + 36$

$3a^{2} - 24a + 36 = 0$

양변을 $3$으로 나누면

$a^{2} - 8a + 12 = 0$

$(a - 2)(a - 6) = 0$

이므로

$a = 2$ 또는 $a = 6$

이에요.

문제에서 구하는 것은 이런 상수 $a$의 값의 합이므로

$2 + 6 = 8$

이에요.

따라서 정답은 ④이에요.