2023학년도 6월 모평 6번

$|f(x)|$가 실수 전체에서 연속이므로 정의가 바뀌는 $x=-1$, $x=3$에서 연속이어야 해요.

$x=-1$에서

$$\lim_{x\to -1-}|f(x)|=\lim_{x\to -1-}|x+a|=|-1+a|$$ $$\lim_{x\to -1+}|f(x)|=\lim_{x\to -1+}|x|=1$$

$-1<x<3$에서 $f(x)=x$이므로 $f(-1)=-1$, $|-1|=1$이에요.

따라서 $|-1+a|=1$이고, $a>0$이므로 $-1+a=1$, 즉 $a=2$예요.

$x=3$에서

$$\lim_{x\to 3-}|f(x)|=\lim_{x\to 3-}|x|=3$$ $$\lim_{x\to 3+}|f(x)|=\lim_{x\to 3+}|bx-2|=|3b-2|$$

$x\ge 3$에서 $f(x)=bx-2$이므로 $f(3)=3b-2$, $|f(3)|=|3b-2|$이에요.

따라서 $|3b-2|=3$이고, $b>0$이므로 $3b-2=3$, 즉 $b=\dfrac{5}{3}$이에요.

$$a+b=2+\dfrac{5}{3}=\dfrac{11}{3}$$

따라서 정답은 ⑤예요.