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2026년 9월 모의평가 확률과 통계 > 3. 통계 > Q. 확률분포 > 이항분포와 정규분포의 관계 난이도

2026학년도 9월 모평 29번

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문제

두 집합 $A = \{ 2, 3, 4\}$ , $B = \{ 2, 3\}$ 에 대하여 다음 시행을 한다.

시행

집합 $A$ 의 모든 부분집합 $8$ 개 중에서 임의로 한 개를 선택하고,

집합 $B$ 의 모든 부분집합 $4$ 개 중에서 임의로 한 개를 선택한다.

선택한 두 집합의 교집합의 원소의 개수를 기록한다.

이 시행을 $15360$ 번 반복하여 기록한 수가 $1$ 인 횟수가 $5880$ 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 $k$ 일 때, $1000 \times k$ 의 값을 구하시오. [4점]

표준정규분포표

$z$	$P(0 \leq Z \leq z)$
$1.0$	$0.341$
$1.5$	$0.433$
$2.0$	$0.477$
$2.5$	$0.494$
$3.0$	$0.499$

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

한 번의 시행에서 교집합 원소가 $1$ 개인 경우를 $Y=\{2\}$ , $\{3\}$ , $\{2,3\}$ 으로 나눠 세면 $p=\dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}$ 이에요. $15360$ 번 중 $1$ 이 나온 횟수를 $X$ 라 두세요.
$X\sim B\!\left(15360,\dfrac{3}{8}\right)$ 을 정규분포 $N(5760,60^{2})$ 로 근사한 뒤, $P(X\ge 5880)=P\!\left(Z\ge\dfrac{5880-5760}{60}\right)$ 을 표로 구하면 됩니다.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

한 번의 시행에서 $1$ 이 나올 확률

$A$ 의 부분집합을 $X$ , $B$ 의 부분집합을 $Y$ 라 하면 경우의 수는 $8\times 4=32$ 입니다.

$|X\cap Y|=1$ 인 경우는 다음과 같습니다.

$Y$	조건	경우의 수
$\{2\}$	$2\in X$	$4$
$\{3\}$	$3\in X$	$4$
$\{2,3\}$	$X\in\{\{2\},\{2,4\},\{3\},\{3,4\}\}$	$4$

따라서

\begin{aligned} p&=\dfrac{12}{32} \\ &=\dfrac{3}{8} \end{aligned}

이항분포의 정규근사

$15360$ 번 반복할 때 $1$ 이 나온 횟수를 $X$ 라 하면 $X\sim B\!\left(15360,\dfrac{3}{8}\right)$ 입니다.

\begin{aligned} E(X)&=15360\times\dfrac{3}{8}=5760 \\ V(X)&=15360\times\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{8}=3600=60^{2} \end{aligned}

시행 횟수가 충분히 크므로 $X$ 는 근사적으로 $N(5760,60^{2})$ 을 따릅니다.

$Z=\dfrac{X-5760}{60}$ 이라 하면

\begin{aligned} P(X\ge 5880) &=P\!\left(Z\ge\dfrac{5880-5760}{60}\right) \\ &=P(Z\ge 2) \\ &=0.5-P(0\le Z\le 2) \\ &=0.5-0.477 \\ &=0.023 \end{aligned}

따라서 $k=0.023$ 이므로

\begin{aligned} 1000k&=1000\times 0.023 \\ &=23 \end{aligned}

따라서 $1000k=\boxed{23}$ 예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

29회 (6.4%)

개념 출제

3회 (0.7%)

개념 출제 (회차 기준)

3회 (20.0%)

같은 개념의 평균 난이도는 4.00 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 3회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 0회 난이도 4: 3회 난이도 5: 0회

2026학년도 9월 모평 29번

문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

한 번의 시행에서 $1$ 이 나올 확률

이항분포의 정규근사

출제 경향

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문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

한 번의 시행에서 111이 나올 확률

이항분포의 정규근사

출제 경향

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