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2022년 9월 모의평가 확률과 통계 > 3. 통계 > Q. 확률분포 > 이산확률분포 난이도

2022학년도 9월 모평 29번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

두 이산확률변수 $X,\ Y$ 의 확률분포를 표로 나타내면 각각 다음과 같다.

$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	합계
$P(X=x)$	$a$	$b$	$c$	$b$	$a$	$1$

$y$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	합계
$P(Y=y)$	$a+\dfrac{1}{20}$	$b$	$c-\dfrac{1}{10}$	$b$	$a+\dfrac{1}{20}$	$1$

$V(X)$ $= \dfrac{31}{5}$ 일 때, $10 \times V(Y)$ 의 값을 구하시오. [4점]

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

표를 보면 $P(X=x)$ 와 $P(Y=y)$ 가 각각 $x=5$ , $y=5$ 를 중심으로 같은 확률이 마주 보이게 대칭이에요. 이런 분포에서는 기댓값이 가운데 값 $5$ 와 같아요. $E(X)$ , $E(Y)$ 부터 잡아 보세요.
$V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ 이니, 주어진 $V(X)$ 와 $E(X)=5$ 로 $E(X^2)$ 를 먼저 구할 수 있어요.
$E(X^2)=\sum x^2 P(X=x)$ 를 표에 대입하면 $82a+58b+25c$ 꼴이 돼요. 이 식의 값이 앞에서 구한 $E(X^2)$ 와 같다는 관계식을 하나 세워 두면 돼요.
$E(Y^2)$ 도 같은 방식으로 전개하면, $X$ 일 때와 비교해 $a,\,b,\,c$ 에 붙는 계수 $82,\,58,\,25$ 는 그대로이고, $1$ 과 $9$ 에서 확률이 $\dfrac{1}{20}$ 씩 늘고 $5$ 에서 $\dfrac{1}{10}$ 만큼 줄어든 만큼만 $E(X^2)$ 에 상수가 더해지거나 빠져요. 그 차이만 분수로 정확히 계산해 보세요.
$V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y)\}^2$ 이고 $E(Y)=5$ 예요. 마지막에 구한 $V(Y)$ 에 $10$ 을 곱하면 답이에요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

표에 나온 것처럼 $P(X=x)$ 는 $x=1$ 과 $9$ , $3$ 과 $7$ 에 같은 확률이 대응하고 $x=5$ 가 가운데 있어요. 즉 $X$ 의 확률분포는 $x=5$ 를 중심으로 대칭이에요. 따라서

E(X)=5

이에요.

분산 공식 $V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ 에 $V(X)=\dfrac{31}{5}$ , $E(X)=5$ 를 대입하면

E(X^2)=\{E(X)\}^2+V(X)=25+\dfrac{31}{5}

이에요.

한편 표에서

\begin{aligned} E(X^2)&=1^2\cdot a+3^2\cdot b+5^2\cdot c+7^2\cdot b+9^2\cdot a \\ &=(1+81)a+(9+49)b+25c \\ &=82a+58b+25c \end{aligned}

이에요. 위 두 식을 연립하면

82a+58b+25c=25+\dfrac{31}{5}\quad\cdots\cdots\text{㉠}

이에요.

$Y$ 의 확률분포도 $y=5$ 를 중심으로 같은 방식의 대칭이므로 $E(Y)=5$ 예요.

이제 $E(Y^2)$ 를 구할게요.

\begin{aligned} E(Y^2)&=1^2\left(a+\dfrac{1}{20}\right)+3^2\cdot b+5^2\left(c-\dfrac{1}{10}\right)+7^2\cdot b+9^2\left(a+\dfrac{1}{20}\right) \\ &=82a+58b+25c+\dfrac{1}{20}+\dfrac{81}{20}-\dfrac{25}{10} \end{aligned}

여기서 $1^2\cdot\dfrac{1}{20}+9^2\cdot\dfrac{1}{20}=\dfrac{82}{20}$ 이고, $5^2\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)=-\dfrac{25}{10}$ 이에요. 상수만 정리하면

\dfrac{1}{20}+\dfrac{81}{20}-\dfrac{25}{10}=\dfrac{82}{20}-\dfrac{50}{20}=\dfrac{32}{20}=\dfrac{8}{5}

이므로

E(Y^2)=82a+58b+25c+\dfrac{8}{5}

이에요. ㉠을 대입하면

E(Y^2)=25+\dfrac{31}{5}+\dfrac{8}{5}=25+\dfrac{39}{5}

이에요.

따라서

V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y)\}^2=25+\dfrac{39}{5}-25=\dfrac{39}{5}

이에요. 구하는 값은

10\,V(Y)=10\cdot\dfrac{39}{5}=78

이에요.

즉 답은 $\boldsymbol{78}$ 이에요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

29회 (6.4%)

개념 출제

6회 (1.3%)

개념 출제 (회차 기준)

6회 (40.0%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.00 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 3 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 4회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 1회 난이도 3: 4회 난이도 4: 1회 난이도 5: 0회

2022학년도 9월 모평 29번

문제

정답 체크

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STEP 힌트

최종 풀이

출제 경향

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