2026학년도 6월 모평 15번

$g(x)$와 $g'(x)$

$$g(x) = \begin{cases} f(x) + k & (x< -1\ \text{또는}\ x> 1) \\ -f(x) & (-1 \leq x \leq 1) \end{cases}$$ $$g'(x) = \begin{cases} f'(x) & (x< -1\ \text{또는}\ x> 1) \\ -f'(x) & (-1< x< 1) \end{cases}$$

(가)에서 우미분이 $0$ 이하이므로 $|x|>1$에서는 $f'(x)\leq 0$, $-1<x<1$에서는 $-f'(x)\leq 0$, 즉 $f'(x)\geq 0$이어야 해요. 삼차함수 $f$의 $f'(x)$는 이차식이고 최고차항 계수는 음수여야 합니다.

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조건 (가)

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\neq 0$)라 하면

$$f'(x)=3ax^{2}+2bx+c,\qquad f'(0)=c=6$$

$|x|>1$에서 $f'(x)\leq 0$, $|x|<1$에서 $f'(x)\geq 0$이려면 $x=\pm 1$에서 $f'(x)=0$이어야 하므로

$$f'(-1)=f'(1)=0\qquad\cdots\cdots\text{㉠}$$

㉠에서 $3ax^{2}+2bx+6=0$의 두 근이 $-1$, $1$이므로 근과 계수의 관계에 의해

$$-\dfrac{2b}{3a}=0,\qquad \dfrac{6}{3a}=-1$$

따라서 $a=-2$, $b=0$이고

$$f(x)=-2x^{3}+6x+d$$

$x=1$에서의 연속

$|x|\leq 1$이면 $g(1)=-f(1)$, $x\to 1+$일 때 $g(x)=f(x)+k$이므로

$$-f(1)=f(1)+k,\qquad k=-2f(1)\qquad\cdots\cdots\text{㉡}$$

$x=-1$에서

$g(-1)=-f(-1)$이고 $x\to -1+$일 때도 $g(x)=-f(x)$이므로 $f'(-1)=0$이면 우미분이 $0$으로 (가)를 만족해요.

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조건 (나)

$g(x)=t$의 서로 다른 실근이 $2$개가 되도록 하는 $t$의 최댓값이 $13$이므로 그래프에서

$$g(-1)=-f(-1)=13$$

즉 $f(-1)=-13$이에요.

$$f(-1)=2-6+d=-13,\qquad d=-9$$ $$f(x)=-2x^{3}+6x-9$$

㉡에 의해

$$k=-2f(1)=-2(-2+6-9)=10$$

(그래프에서 $x\to -1-$일 때 $\displaystyle\lim_{x\to -1-}g(x)=f(-1)+k=-3<13$이므로 $t=13$에서 실근이 $2$개가 되도록 하는 $k$의 범위도 맞아요.)

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$k+f(\dfrac{1}{2})$

$$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-2\cdot\dfrac{1}{8}+3-9=-\dfrac{25}{4}$$ $$k+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=10-\dfrac{25}{4}=\dfrac{15}{4}$$

따라서 정답은 ①예요.