2022학년도 9월 모평 22번

$i(x)=|f(x)|$라 두면 $f$가 다항함수이므로 $i$는 각 점에서 우·좌 미분계수(코너에서만 값이 다를 수 있음)를 갖어요. 이때

$$\lim_{h\to0+}\dfrac{|f(x+h)|-|f(x-h)|}{h} =\lim_{h\to0+}\dfrac{i(x+h)-i(x)}{h}+\lim_{h\to0+}\dfrac{i(x-h)-i(x)}{-h}$$

로 정리할 수 있어요.

가능한 그래프 모양
$f$는 최고차항 계수가 $1$인 삼차함수예요. 아래 그림들은 원문 해설에서 쓰이던 대표적인 분기예요.

(ⅰ) 단순 실근 $\alpha$에서 $f'(\alpha)\neq 0$
$|f|$가 꺾이므로 $x<\alpha$와 $x>\alpha$에서 위 극한식이 각각 $-2f'(x)$, $2f'(x)$처럼 부호가 반대가 돼요. $g$가 $x=\alpha$에서 연속이려면 $f(\alpha-3)\cdot(\pm 2f'(\alpha))$가 같아야 하는데, $f'(\alpha)\neq 0$이면 $f(\alpha-3)=0$이 필요해요. 그런데 보통 $f(\alpha-3)\neq 0$이라 모순이 나와요.

(ⅱ) $f(\alpha)=f'(\alpha)=0$인 중근 꼴(극값 없음에 가깝게)
$g$는 $\alpha$에서 연속으로 맞출 수 있지만, $g(x)=0$의 실근이 $\alpha$와 $\alpha+3$ 정도로만 잡혀 두 개뿐이라 (나)와 맞지 않아요.

(ⅲ) 극값이 있으나 근 배치가 $k<\alpha<\beta$처럼 어긋난 경우
단순 실근 $k$에서 (ⅰ)와 비슷하게 $g$가 연속이기 어렵고, 세 실근·두 극값만 두는 다른 배치도 (가)·(나)와 동시에 맞기 어려워요.

(ⅳ) 이차 중근 $\alpha$, 단순 실근 $k$, 극값 $\beta$가 $\alpha<\beta<k$인 경우
$x<k$와 $x>k$에서 극한 계수가 $\pm 2f'(x)$로 갈라지고, 아래 그림과 같이 (가)(나)를 동시에 만족시키는 유일한 형태로 정리돼요.

이 배치에서 $x=k$($f(k)=0$, $f'(k)\neq 0$)에 대해 $g$가 연속이 되려면

$$f(k-3)\cdot(-2f'(k))=f(k-3)\cdot(2f'(k))$$

이어야 해요. $f(k)=0$이지만 단순 실근이므로 $f'(k)\neq 0$이니 $f(k-3)=0$이어야 하고, $k-3$는 $f$의 근이므로 $k-3=\alpha$, 즉

$$k=\alpha+3 \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

이에요.

$g(x)=0$의 서로 다른 실근은 이 배치에서 $\alpha,\ \beta,\ k,\ k+3$ 네 개가 되고(그림 참고), (나)에 의해

$$\alpha+\beta+k+(k+3)=7$$

즉

$$\alpha+\beta+2k=4 \quad\cdots\cdots\text{㉡}$$

이에요.

$f(x)=(x-\alpha)^2(x-k)$로 두면(최고차항 $1$ 맞춤)

$$f'(x)=(x-\alpha)\bigl(3x-(2k+\alpha)\bigr)$$

이므로 $\alpha$와 $k$ 사이의 극값점은

$$\beta=\dfrac{\alpha+2k}{3}$$

이에요. ㉡에 대입하면

$$\alpha+\dfrac{\alpha+2k}{3}+2k=4 \quad\Rightarrow\quad 4\alpha+8k=12 \quad\Rightarrow\quad \alpha+2k=3 \quad\cdots\cdots\text{㉢}$$

이에요.

㉠과 ㉢을 연립하면 $\alpha=-1$, $k=2$이에요. 따라서

$$f(x)=(x+1)^2(x-2)$$

이고,

$$f(5)=(5+1)^2(5-2)=36\times 3=108$$

이에요.

구하는 값은 $\boxed{108}$이에요.