2023학년도 9월 모평 22번

$x\ge t$에서는 $g(x)=f(x)$, $x<t$에서는

$$g(x)=-f(x)+2f(t)$$

이므로 $x=t$에서 $g(t)=f(t)$이고, $x<t$ 구간의 그래프는 $y=f(x)$를 $y=f(t)$에 대해 반사한 모양이에요.

$g(x)=0$의 실근은

• $x\ge t$: $f(x)=0$
• $x<t$: $f(x)=2f(t)$

$t$가 변할 때마다 실근 개수 $h(t)$가 바뀌면 $h(t)$가 그 $t$에서 불연속이에요.

극솟값이 $0$일 때 $f(t)=0$이 되는 순간에 불연속이 한 번 나타나요.

$f(t)=4$일 때 $-f(x)+2f(t)=0$이 $x<t$에서 성립할 수 있지만, 극솟값·극댓값 배치에 따라 불연속이 $3$번 생기는 경우도 있어 이 조건만으로는 “불연속 $2$개”와 맞지 않아요.

극솟값이 양수일 때, $t$가 극소점이 되면서 $y=g(x)$가 $x$축에 접하면 불연속이 두 번 나타날 수 있어요.

• $t_{1}$ 왼쪽: $g(x)=0$의 실근 $1$개 → $t_{1}$을 지나면 $0$개
• $t_{3}$: 다시 실근 $1$개 → $t_{3}$을 지나면 $0$개

이때 $x<t$에서 $f(x)=2f(t)$가 $x$축과 만나려면 $f(t_{3})=4$여야 해요 ($2f(t)=8$이므로).

• $f(t_{3})>4$이면 $t_{1}$에서만 불연속 $1$번
• $f(t_{3})<4$이면 접하는 순간을 지나 실근이 $2$개가 되었다가 다시 $1$개가 되어 불연속이 $3$번

따라서 불연속인 $t$가 정확히 두 개이려면 극솟값이 $4$이고, 위 그림처럼 $f(t)=4$인 경우가 맞아요.

극솟점의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면, 삼차함수에서 극대·극솟의 $y$좌표 차는 $\dfrac{1}{2}(\alpha-3)^{3}=4$이므로

$$\alpha=5$$

극댓값 $8$이 $x=3$에서 나오고, 극솟값 $4$가 $x=5$에서 나오도록

$$f(x)-8=(x-3)^{2}(x-6)$$

로 두면 ($x=3$에서 극대, $x=5$에서 극소, $x=6$에서 $f=0$) 조건에 맞아요.

$$f(8)=(8-3)^{2}(8-6)+8=25\times 2+8=58$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{58}$예요.