2024학년도 수능 22번

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$는 극값을 가지며, $f'(x)\lt 0$인 구간이 존재해요.

$f(k-1)f(k+1)\lt 0$인 정수 $k$가 있으면 $f(k-1)$과 $f(k+1)$의 부호가 달라, 그 사이에 실근이 있어요.

실근이 $1$개($x=\alpha$)이면 $\alpha$를 사이에 두는 정수 $k$에 대해 $f(k-1)\lt 0\lt f(k+1)$ 또는 그 반대가 되어 조건에 어긋나요.

실근이 $2$개($\alpha\lt\beta$, 한쪽이 중근)이어도 비슷하게 정수 $k$를 잡으면 $f(k-1)f(k+1)\lt 0$이 돼요(아래 그림 참고).

따라서 $f(x)=0$은 서로 다른 세 실근 $\alpha\lt\beta\lt\gamma$를 가져요.

세 실근 중 정수 근을 $0,1$로 두고 나머지를 $\alpha$라 해요. $f(x)=x(x-1)(x-\alpha)$예요. $f'(0)\lt 0$이므로 $0$이 근 사이에 오고, 조건을 만족하려면 $\alpha\lt 0$이어야 해요($\alpha\gt 0$이면 $f(0)\lt 0\lt f(2)$로 $k=1$에서 모순).

$$f(x)=x(x-1)(x-\alpha),\quad f'(x)=3x^{2}-2(1+\alpha)x+\alpha$$

$f'\!\left(-\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{1}{4}$에서 아래와 같아요.

$$\dfrac{11}{16}+\dfrac{3}{2}\alpha=-\dfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad \alpha=-\dfrac{5}{8}$$

($\alpha\lt 0$이므로 조건과 맞아요.)

검산:

$$f'(x)=3x^{2}-2\left(1+\alpha\right)x+\alpha,\quad \alpha=-\dfrac{5}{8}$$ $$f'\left(-\dfrac{1}{4}\right) =\dfrac{11}{16}+\dfrac{3}{2}\alpha =-\dfrac{1}{4}$$

따라서 아래와 같아요.

$$\begin{aligned} f(8) &=8\times(8-1)\times\left(8+\dfrac{5}{8}\right) \\ &=8\times 7\times \dfrac{69}{8} =483 \end{aligned}$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{483}$예요.