2022학년도 수능 22번

$f'(x)=0$은 이차방정식이에요.

근이 없는 경우 $g(t)=0$이지만 **(나)**에서 $g(f(0))=1$이므로 불가능해요.

중근 $\alpha$만 있는 경우 $g(t)$는 $0,1,2$ 중 $2$를 갖는 구간이 생기지만, **(나)**의 $g(f(1))=g(f(4))=2$와 맞지 않아요.

**서로 다른 두 실근 $\alpha<\beta$**인 경우만 남아요.

$g(t)$의 모양과 $\beta-\alpha$

두 근 사이 거리에 따라 $[t,t+2]$에 들어가는 근의 개수가 달라집니다.

• $\beta=\alpha+2$:

**(가)**를 만족해요.

• $\beta>\alpha+2$: $g(t)=2$인 $t$ 구간이 넓어 **(나)**와 모순이에요.

• $\beta<\alpha+2$: 어떤 $a$에서 $\displaystyle\lim_{t\to a+}g(t)+\lim_{t\to a-}g(t)>2$가 되어 **(가)**를 위반해요.

따라서 $\beta=\alpha+2$뿐이에요.

$f(x)$ 정하기

$f$의 최고차항 계수가 $\dfrac{1}{2}$이므로

$$f'(x)=\dfrac{3}{2}(x-\alpha)\{x-(\alpha+2)\} =\dfrac{3}{2}\bigl\{x^{2}-(2\alpha+2)x+\alpha^{2}+2\alpha\bigr\}$$ $$f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{3}{2}(\alpha+1)x^{2}+\dfrac{3}{2}(\alpha^{2}+2\alpha)x+C \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

**(나)**에서 $g(t)=2$인 $t$는 각각 하나뿐이고 $g(f(1))=g(f(4))=2$이므로

$$f(1)=f(4)$$

㉠에 대입해 정리하면

$$1-3(\alpha+1)+3(\alpha^{2}+2\alpha)=64-48(\alpha+1)+12(\alpha^{2}+2\alpha)$$ $$9\alpha^{2}-27\alpha+18=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha^{2}-3\alpha+2=0 \quad\Rightarrow\quad (\alpha-1)(\alpha-2)=0$$

$\alpha=1$일 때 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x+C$이고, $f(1)=1$에서 $C=-1$이에요.

$$f(0)=-1,\quad g(f(0))=g(-1)=1$$

조건 **(나)**를 만족해요.

$\alpha=2$일 때 $f(1)=2$가 되어야 하는데 $f(0)=-6$, $g(f(0))=0$이므로 조건을 만족하지 않아요.

$f(5)$

$$f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x-1$$ $$f(5)=\dfrac{125}{2}-75+\dfrac{45}{2}-1=9$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{9}$예요.