2022학년도 6월 모평 22번

(가)에서 $f(x)=0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha,\,\beta$라 하면(한쪽은 중근),

$$f(x)=k(x-\alpha)^2(x-\beta)\quad(k\ne 0)$$

로 둘 수 있어요.

(나)에서 $f(x-f(x))=0$은 $x-f(x)$가 $f$의 근인 $\alpha,\,\beta$ 중 하나라는 뜻이므로

$$f(x)=x-\alpha\quad\text{또는}\quad f(x)=x-\beta$$

의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이어야 해요. 즉 $y=f(x)$와 두 직선 $y=x-\alpha,\,y=x-\beta$의 교점의 $x$좌표가 셋이어야 해요.

한편 $f(1)=4$, $f'(1)=1$이므로 $(1,4)$에서의 접선은

$$y-4=1\cdot(x-1),\qquad y=x+3$$

이에요. 접선 $y=x+3$이 두 직선 $y=x-\alpha,\,y=x-\beta$ 중 하나와 같아야 하므로(중근 쪽을 $\alpha$라 두면) $\alpha=-3$이어야 $x-\alpha=x+3$이 돼요. $\alpha$는 $f$의 중근이므로 $f(-3)=0$이고, $(-3,0)$은 $y=x+3$ 위의 점이기도 해요. 그래서 $y=f(x)$는 $y=x+3$에 $(1,4)$에서 접하고, $f(x)-(x+3)$은 $x=1$에서 중근을 가지며 $x=-3$에서도 $0$이에요. 이를 한꺼번에 쓰면

$$f(x)-(x+3)=k(x+3)(x-1)^2$$

즉

$$f(x)=k(x+3)(x-1)^2+x+3 \quad\cdots\cdots\text{㉠}$$

꼴이에요.

㉠을 미분하면

$$f'(x)=k(x-1)^2+2k(x+3)(x-1)+1 \quad\cdots\cdots\text{㉡}$$

이에요. $x=-3$은 $f$의 중근 후보이므로 $f'(-3)=0$이어야 해요. ㉡에 $x=-3$을 대입하면

$$0=k(-4)^2+1=16k+1,\qquad k=-\dfrac{1}{16}$$

이에요.

따라서

$$f(x)=-\dfrac{1}{16}(x+3)(x-1)^2+x+3$$

이고,

$$f(0)=-\dfrac{1}{16}\cdot 3\cdot 1+3=\dfrac{45}{16}$$

이에요. ㉡을 정리하면 $f'(x)=k(x-1)(3x+5)+1$이고, $f'(0)=-5k+1=\dfrac{21}{16}>1$이라 문제 조건도 만족해요.

$f(0)=\dfrac{q}{p}$에서 $p=16$, $q=45$는 서로소이므로 $p+q=61$이에요.

답은 $\boxed{61}$이에요.