2023학년도 6월 모평 22번

$g$가 실수 전체에서 연속이려면 $x=0$에서

$$\lim_{x\to 0-}g(x)=\lim_{x\to 0+}g(x)=g(0) \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

이어야 해요.

$$\lim_{x\to 0-}g(x)=\lim_{x\to 0-}(x+3)f(x)=3f(0)$$ $$\lim_{x\to 0+}g(x)=\lim_{x\to 0+}(x+a)f(x-b)=af(-b),\quad g(0)=af(-b)$$

㉠에서

$$3f(0)=af(-b) \quad\cdots\cdots \text{㉡}$$

한편 $t\neq -3$, $t\neq 6$일 때

$$\lim_{x\to -3}\dfrac{\sqrt{|g(x)|+\{g(t)\}^{2}}-|g(t)|}{(x+3)^{2}} =\lim_{x\to -3}\dfrac{|g(x)|}{(x+3)^{2}\bigl(\sqrt{|g(x)|+\{g(t)\}^{2}}+|g(t)|\bigr)}$$

$x\to -3$에서 분모의 괄호는 $2|g(t)|$에 가까우므로

$$=\lim_{x\to -3}\dfrac{|(x+3)f(x)|}{(x+3)^{2}\cdot 2|g(t)|} \quad\cdots\cdots \text{㉢}$$

$t\neq -3$, $t\neq 6$에서 ㉢이 항상 존재하려면 $f(x)=(x+3)(x+k)$ ($k$는 상수) 꼴이어야 해요.

$$\lim_{x\to -3}\dfrac{|x+k|}{2|g(t)|} \quad\cdots\cdots \text{㉣}$$

㉣이 존재하지 않는 $t$는 $g(t)=0$인 $t=-3$, $t=6$뿐이므로 $g(x)=0$의 실근은 $x=-3$, $x=6$뿐이에요.

$g(-3)=0$이므로 $g(6)=0$, 즉 $(6+a)f(6-b)=0$이에요.

$a>0$이므로 $f(6-b)=0$, 따라서 $6-b=-3$ 또는 $6-b=-k$.

$b=9$ (또는 $k-b=-6$에서도 같은 결론)

$x<0$에서 $g(x)=(x+3)^{2}(x+k)$이고, $x<0$에서 $g(x)=0$은 $x=-3$뿐이므로 $-k\ge 0$ 또는 $k=3$이에요.

$x\ge 0$에서 $g(x)=(x+a)(x-6)(x-9+k)$이고, $x\ge 0$에서 $g(x)=0$은 $x=6$뿐이므로 $9-k<0$ 또는 $9-k=6$이에요.

따라서 $k=3$, $f(x)=(x+3)^{2}$예요.

㉡에서 $3\times 3^{2}=36a$, $a=\dfrac{3}{4}$예요.

$$g(4)=(4+a)f(4-b)=\left(4+\dfrac{3}{4}\right)f(-5)=\dfrac{19}{4}\times 4=19$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{19}$예요.