2023학년도 수능 22번

$f(0)=-3$이고 최고차항의 계수가 $1$이므로

$$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx-3$$

(가)에서 $x\neq 1$일 때

$$f'(g(x))=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} =\dfrac{x^{3}+ax^{2}+bx-3-(a+b-2)}{x-1}$$ $$=(x^{2}+x+1)+a(x+1)+b =x^{2}+(a+1)x+a+b+1 \quad\cdots\cdots \text{㉠}$$

(나)에서 $g(x)$의 최솟값이 $\dfrac{5}{2}$이므로, 이를 만드는 $x=\alpha$라 하면 $g(\alpha)=\dfrac{5}{2}$이고, ㉠의 우변은 $x=-\dfrac{a+1}{2}$에 대해 대칭이므로

$$\alpha=-\dfrac{a+1}{2}$$

㉠에 $x=\alpha$를 대입하고 $g(\alpha)=\dfrac{5}{2}$이므로

$$f'\!\left(\dfrac{5}{2}\right)=\alpha^{2}+(a+1)\alpha+a+b+1$$

$f'(x)=3x^{2}+2ax+b$와 비교·정리하면 ($\alpha=-\dfrac{a+1}{2}$ 대입)

$$(a+6)(a+12)=0 \quad\Rightarrow\quad a=-6 \text{ 또는 } a=-12$$

$a=-12$이면 $f'(x)=3x^{2}-24x+b$의 대칭축이 $x=8$인데, $y=f'(g(x))$의 개형이 이차함수가 아니게 되어 (가)와 맞지 않아요.

따라서 $a=-6$, $\alpha=\dfrac{5}{2}$이고

$$f(x)=x^{3}-6x^{2}+bx-3 \quad\cdots\cdots \text{㉡},\qquad f'(x)=3x^{2}-12x+b \quad\cdots\cdots \text{㉢}$$

$f'(g(x))$와 $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$이 연속이므로

$$\lim_{x\to 1}f'(g(x))=\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$$

$g(1)=k$라 하면 ㉢에서 $3k^{2}-12k+b=-9+b$이므로

$$k^{2}-4k+3=0 \quad\Rightarrow\quad k=1 \text{ 또는 } k=3$$

$g(1)=1$이면 최솟값 $\dfrac{5}{2}$보다 작아 모순이므로 $g(1)=3$이에요.

(다)에서 $f(g(1))=f(3)=6$이므로 ㉡에 대입하면

$$27-54+3b=9 \quad\Rightarrow\quad b=12$$ $$f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-3,\qquad f(4)=64-96+48-3=13$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{13}$예요.