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2026년 6월 모의평가 미적분Ⅰ > 3. 적분 > L. 정적분 > 곡선 사이의 넓이 난이도

2026학년도 6월 모평 13번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

그림과 같이 함수 $f(x) = 3x^{2} - 7x + 2$ 에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 와 직선 $y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$ 및 $y$ 축으로 둘러싸인 영역을 $A$ ,\

곡선 $y = f(x)$ 와 직선 $y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$ 로 둘러싸인 영역을 $B$ ,\

곡선 $y = f(x)$ 와 두 직선 $y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$ , $x = k\ (k> 2)$ 로 둘러싸인 영역을 $C$ 라 하자.

$(A$ 의 넓이 $) + (C$ 의 넓이 $) = (B$ 의 넓이 $)$

일 때, 상수 $k$ 의 값은? [4점]

정답 체크

선택지를 클릭하면 바로 채점됩니다.

힌트 및 풀이

STEP 힌트

직선을 $g(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}$ 라 두고, $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 의 교점 $x$ 좌표를 $\alpha<\beta$ 로 잡아요. 그림에서 $A$ , $B$ , $C$ 가 각각 어떤 $x$ 구간에 해당하는지 먼저 맞춰 보세요.
$A$ , $B$ , $C$ 의 넓이를 $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ 라 하면 $S_{1}+S_{3}=S_{2}$ 예요. $S_{1}-S_{2}+S_{3}=0$ 으로 쓰고, 구간별 적분을 하나로 합칠 수 있는지 보면 $k$ 에 대한 식이 짧아져요.
$f(x)-g(x)$ 를 구한 뒤 $\displaystyle\int_{0}^{k}\{f(x)-g(x)\}\,dx=0$ 을 계산해요. $k>2$ 인 근만 고르면 됩니다.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

직선과 교점

g(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}

$y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 의 교점의 $x$ 좌표는 $f(x)=g(x)$ , 즉

f(x)-g(x)=3x^{2}-\dfrac{22}{3}x+\dfrac{8}{3}=0

의 해예요.

양변에 $3$ 을 곱하면 $9x^{2}-22x+8=0$ 이고,

(9x-4)(x-2)=0

이므로

\alpha=\dfrac{4}{9},\qquad \beta=2\quad(\alpha<\beta)

넓이와 조건

그림에서 $A$ , $B$ , $C$ 의 넓이를 각각 $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ 라 하면

S_{1}=\int_{0}^{\alpha}\{f(x)-g(x)\}\,dx,\quad S_{2}=\int_{\alpha}^{\beta}\{g(x)-f(x)\}\,dx,\quad S_{3}=\int_{\beta}^{k}\{f(x)-g(x)\}\,dx

$(A$ 의 넓이 $)+(C$ 의 넓이 $)=(B$ 의 넓이 $)$ 이므로 $S_{1}+S_{3}=S_{2}$ ,

S_{1}-S_{2}+S_{3}=0

중간 구간 적분은 $g-f=-(f-g)$ 이므로

\begin{aligned} S_{1}-S_{2}+S_{3} &=\int_{0}^{\alpha}\{f(x)-g(x)\}\,dx +\int_{\alpha}^{\beta}\{f(x)-g(x)\}\,dx +\int_{\beta}^{k}\{f(x)-g(x)\}\,dx \\ &=\int_{0}^{k}\{f(x)-g(x)\}\,dx \end{aligned}

따라서

\int_{0}^{k}\{f(x)-g(x)\}\,dx=0\qquad\cdots\cdots\text{㉠}

$k$ 구하기

㉠에 $f(x)-g(x)=3x^{2}-\dfrac{22}{3}x+\dfrac{8}{3}$ 를 대입하면

\int_{0}^{k}\left(3x^{2}-\dfrac{22}{3}x+\dfrac{8}{3}\right)dx=0

원시함수는 $x^{3}-\dfrac{11}{3}x^{2}+\dfrac{8}{3}x$ 이므로

\left[x^{3}-\dfrac{11}{3}x^{2}+\dfrac{8}{3}x\right]_{0}^{k} =k^{3}-\dfrac{11}{3}k^{2}+\dfrac{8}{3}k=0

k\left(k^{2}-\dfrac{11}{3}k+\dfrac{8}{3}\right)=0

k(3k^{2}-11k+8)=k(k-1)(3k-8)=0

$k>2$ 이므로

k=\dfrac{8}{3}

따라서 정답은 ④예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

55회 (12.2%)

개념 출제

12회 (2.7%)

개념 출제 (회차 기준)

11회 (73.3%)

같은 개념의 평균 난이도는 3.17 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 4 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 7회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 3회 난이도 3: 4회 난이도 4: 5회 난이도 5: 0회

2026학년도 6월 모평 13번

문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

직선과 교점

넓이와 조건

$k$ 구하기

출제 경향

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문제

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

직선과 교점

넓이와 조건

kkk 구하기

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$k$ 구하기