2023학년도 9월 모평 20번

$f'(x)=3x^{2}+2x-1=(3x-1)(x+1)$이므로

$$f\!\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{27},\qquad f(-1)=-1+1+1=1$$

$x=\dfrac{1}{3}$에서 극소, $x=-1$에서 극대예요.

$k<0$이면 $g(x)=4|x|+k$는 꺾인 직선이 아래로 내려가 있어요. 교점이 서로 다른 $2$개가 되려면 $x>0$에서 $g(x)=4x+k$가 $f(x)$와 접하는 경우를 봐요.

접점을 $\alpha>0$이라 하면

$$\begin{cases} 4\alpha+k=\alpha^{3}+\alpha^{2}-\alpha \\[4pt] 4=3\alpha^{2}+2\alpha-1 \end{cases}$$

$3\alpha^{2}+2\alpha-5=(3\alpha+5)(\alpha-1)=0$에서 $\alpha>0$이므로 $\alpha=1$이에요.

$$4+k=1+1-1 \quad\Rightarrow\quad k=-3$$

$x<0$에서의 다른 교점은

$$x^{3}+x^{2}-x=-4x-3 \quad\Rightarrow\quad x^{3}+x^{2}+3x+3=(x^{2}+3)(x+1)=0$$

이므로 $x=-1$이에요. 서로 다른 교점은 $x=-1$, $x=1$($x=1$은 접함)이고, 둘러싸인 부분은 $x=-1$부터 $x=1$까지예요.

$[-1,\,0]$ ($g(x)=-4x-3$, 이 구간에서 $f(x)\ge g(x)$)

$$\int_{-1}^{0}\bigl\{(x^{3}+x^{2}-x)-(-4x-3)\bigr\}\,dx =\int_{-1}^{0}(x^{3}+x^{2}+3x+3)\,dx$$ $$=\left[\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}+3x\right]_{-1}^{0} =0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-3\right) =\dfrac{19}{12}$$

$[0,\,1]$ ($g(x)=4x-3$, 이 구간에서도 $f(x)\ge g(x)$)

$$\int_{0}^{1}\bigl\{(x^{3}+x^{2}-x)-(4x-3)\bigr\}\,dx =\int_{0}^{1}(x^{3}+x^{2}-5x+3)\,dx$$ $$=\left[\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+3x\right]_{0}^{1} =\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{2}+3 =\dfrac{13}{12}$$

따라서

$$S=\dfrac{19}{12}+\dfrac{13}{12}=\dfrac{8}{3},\qquad 30S=80$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{80}$예요.