4<k<5일 때 x=0에서 x3+x2=0, −x2+k=k>0이므로 y=−x2+k가 위에 있어요.
두 곡선의 교점은
x3+x2=−x2+k⇒x3+2x2−k=0
[0,2]에서 x=0일 때 왼쪽은 −k<0, x=2일 때 16−k>0이므로 교점 α∈(0,2)가 하나 있어요.
A (y축과 두 곡선, 0≤x≤α): 위쪽 y=−x2+k
B (직선 x=2와 두 곡선, α≤x≤2): 위쪽 y=x3+x2
A=∫0α{(−x2+k)−(x3+x2)}dx=∫0α(−x3−2x2+k)dx
B=∫α2{(x3+x2)−(−x2+k)}dx=∫α2(x3+2x2−k)dx
A=B이면
∫0α(−x3−2x2+k)dx=∫α2(x3+2x2−k)dx
양변에 ∫0α(x3+2x2−k)dx를 더하면
∫02(x3+2x2−k)dx=0
∫02(x3+2x2−k)dx=[41x4+32x3−kx]02=4+316−2k=328−2k=0
k=314
4<314<5이므로 조건에 맞아요.
따라서 정답은 ④예요.
