2022학년도 6월 모평 6번

곡선 $y = 3x^{2} - x$와 직선 $y = 5x$의 교점의 $x$좌표를 구할게요.

$3x^{2} - x = 5x$

양변을 정리하면

$3x^{2} - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

이므로

$x = 0$ 또는 $x = 2$

이에요.

구간 $\lbrack 0,\ 2\rbrack$에서 어느 그래프가 위인지 보면, 예를 들어 $x = 1$일 때 직선은 $y = 5$, 곡선은 $y = 3 - 1 = 2$이므로 직선이 곡선보다 위에 있어요. 따라서 높이는 (직선) $-$ (곡선)으로 잡을 수 있어요.

구하는 넓이는

$S\displaystyle = \int_{0}^{2}{\{ 5x - (3x^{2} - x)\}\, dx}$

$\displaystyle = \int_{0}^{2}{(6x - 3x^{2})\, dx}$

이에요.

$6x - 3x^{2}$의 부정적분은 $3x^{2} - x^{3}$이므로

$S = \bigl\lbrack 3x^{2} - x^{3} \bigr\rbrack_{0}^{2}$

$= (3 \cdot 2^{2} - 2^{3}) - (3 \cdot 0^{2} - 0^{3})$

$= (12 - 8) - 0$

$= 4$

이에요.

따라서 정답은 ④이에요.