2022학년도 수능 8번

곡선 $y=x^{2}-5x$와 직선 $y=x$의 교점은

$x^{2}-5x=x$

$x^{2}-6x=0$

$x(x-6)=0$

에서 $x=0$ 또는 $x=6$이에요. 교점은 원점 $(0,\,0)$과 $(6,\,6)$이에요.

$0\le x\le 6$에서 두 그래프 사이, 직선 $y=x$가 위에 있고 곡선 $y=x^{2}-5x$가 아래에 있어요. (예를 들어 $x=1$일 때 직선은 $y=1$, 곡선은 $y=-4$예요.)

둘러싸인 부분의 넓이는

$$\int_{0}^{6}\bigl\{x-(x^{2}-5x)\bigr\}\,dx =\int_{0}^{6}(6x-x^{2})\,dx$$ $$=\left[3x^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{6} =3\cdot 36-\dfrac{216}{3} =108-72 =36$$

이에요.

직선 $x=k$가 이 넓이를 이등분하므로, $0<k<6$에서 왼쪽 부분 넓이가 $18$이어야 해요.

$$18=\int_{0}^{k}(6x-x^{2})\,dx =\left[3x^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{k} =3k^{2}-\dfrac{1}{3}k^{3}$$

양변에 $3$을 곱하면

$54=9k^{2}-k^{3}$

$k^{3}-9k^{2}+54=0$

$(k-3)(k^{2}-6k-18)=0$

이에요.

$k^{2}-6k-18=0$의 해는

$k=\dfrac{6\pm\sqrt{36+72}}{2}=3\pm 3\sqrt{3}$

이고, $0<k<6$을 만족하는 것은 $k=3$뿐이에요. ($3+3\sqrt{3}>6$, $3-3\sqrt{3}<0$이므로 나머지 두 해는 제외해요.)

따라서 정답은 ①예요.