2022학년도 6월 모평 11번

조건 (가)에 따라

$x \in (-1,\ 0)$일 때 $g(x) = -f(x + 1) + 1$,

$x \in [0,\ 1]$일 때 $g(x) = f(x)$이에요.

먼저 $\displaystyle \int_{-1}^{0} g(x)\, dx$를 구할게요.

치환 $t = x + 1$을 쓰면 $dt = dx$이고,

$x = -1$일 때 $t = 0$,

$x = 0$일 때 $t = 1$이에요.

$\displaystyle \int_{-1}^{0} \{ -f(x + 1) + 1 \}\, dx$

$= \displaystyle\int_{0}^{1} \{ -f(t) + 1 \}\, dt$

$= - \displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\, dt + \displaystyle\int_{0}^{1} 1\, dt$

$\displaystyle = - \dfrac{1}{6} + 1 = \dfrac{5}{6}$

이에요.

또

$\displaystyle \int_{0}^{1} g(x)\, dx = \int_{0}^{1} f(x)\, dx = \dfrac{1}{6}$

이에요.

그러므로 한 주기에 해당하는 구간에서

$\displaystyle \int_{-1}^{1} g(x)\, dx$

$= \displaystyle \int_{-1}^{0} g(x)\, dx + \int_{0}^{1} g(x)\, dx$

$= \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 1$

이에요.

조건 (나)에서 $g(x + 2) = g(x)$이므로 $g$는 주기 $2$를 가져요.

따라서 임의의 실수 $a$에 대해 $\displaystyle \int_{a}^{a + 2} g(x)\, dx$는 $a$에 의존하지 않고 같아요.

$\displaystyle \int_{-3}^{-1} g(x)\, dx$에서 $u = x + 2$로 치환하면 $du = dx$,

$x = -3$일 때 $u = -1$,

$x = -1$일 때 $u = 1$이므로

$\displaystyle \int_{-3}^{-1} g(x)\, dx = \int_{-1}^{1} g(u)\, du = 1$

이에요.

$\displaystyle \int_{1}^{2} g(x)\, dx$는 $v = x - 2$로 치환하면 $dv = dx$, $x = 1$일 때 $v = -1$, $x = 2$일 때 $v = 0$이므로

$\displaystyle \int_{1}^{2} g(x)\, dx$

$= \displaystyle \int_{-1}^{0} g(v)\, dv = \dfrac{5}{6}$

이에요.

구간 $[-3,\ 2]$를 나누면

$\displaystyle \int_{-3}^{2} g(x)\, dx$

$= \displaystyle\int_{-3}^{-1} g(x)\, dx + \int_{-1}^{1} g(x)\, dx + \int_{1}^{2} g(x)\, dx$

$\displaystyle = 1 + 1 + \dfrac{5}{6} = \dfrac{17}{6}$

이에요. (앞의 두 항은 각각 $\displaystyle \int_{-1}^{1} g(x)\, dx$와 같으므로 $2 \times 1 + \dfrac{5}{6}$으로 묶어서 생각해도 돼요.)

따라서 정답은 ②이에요.