2025학년도 9월 모평 13번

각 구간에서 완전제곱식으로 고쳐 써요.

$$f(x) = \begin{cases} -(x+1)^{2}+7 & (x< 0) \\ -(x-1)^{2}+7 & (x \geq 0) \end{cases}$$

점 $P$, $Q$의 $x$좌표

$x\ge 0$에서 $-x^{2}+2x+6=0$이므로

$$x^{2}-2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=1\pm\sqrt{7}$$

양수인 근이 $Q$의 $x$좌표이므로 $Q\bigl(1+\sqrt{7},\,0\bigr)$예요.

$x<0$에서 $-x^{2}-2x+6=0$이므로

$$x^{2}+2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{7}$$

음수인 근이 $P$의 $x$좌표이므로 $P\bigl(-1-\sqrt{7},\,0\bigr)$예요.

그래프는 $y$축에 대해 대칭이고, $P$에서 $Q$까지 구간에서는 곡선이 $x$축 위에 있어요.

넓이 $A$

선분 $PQ$가 $x$축 위에 있으므로, $A$는 $x$좌표가 $-1-\sqrt{7}$부터 $1+\sqrt{7}$까지일 때 곡선과 $x$축 사이 넓이와 같아요.

대칭에 의해 $y$축 왼쪽·오른쪽 넓이가 같으므로

$$A=2\int_{0}^{1+\sqrt{7}}\bigl(-x^{2}+2x+6\bigr)\,dx$$

$x\ge 0$에서 $F(x)=-\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}+6x$라 두면 (검산: $F'(x)=f(x)$)

$$\int_{0}^{1+\sqrt{7}}\bigl(-x^{2}+2x+6\bigr)\,dx =F(1+\sqrt{7})-F(0)$$

넓이 $B$와 $A=2B$

$k>4>1+\sqrt{7}$이므로, $B$는 $x=Q$부터 $x=k$까지 곡선·$x$축·$x=k$로 둘러싸인 넓이예요. 이 구간에서는 $f(x)\le 0$이므로

$$B=-\int_{1+\sqrt{7}}^{k}\bigl(-x^{2}+2x+6\bigr)\,dx =F(1+\sqrt{7})-F(k)$$

$A=2B$이므로

$$2\int_{0}^{1+\sqrt{7}}f(x)\,dx =2\Bigl(F(1+\sqrt{7})-F(k)\Bigr)$$

양변을 $2$로 나누고 정리하면 $F(k)=0$이에요.

$$F(k)=-\dfrac{1}{3}k^{3}+k^{2}+6k=0$$ $$k\left(-\dfrac{1}{3}k^{2}+k+6\right)=0$$

$k\ne 0$이므로 $-\dfrac{1}{3}k^{2}+k+6=0$, 즉 $k^{2}-3k-18=0$.

$$(k-6)(k+3)=0$$

$k>4$이므로 $k=6$.

따라서 정답은 ④예요.