2025학년도 수능 29번

조건에서 $m_{1}$, $m_{2}$, $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$

$X\sim N(m_{1},\sigma_{1}^{2})$.

모든 실수 $x$에 대해

$$P(X\le x)=P(X\ge 40-x)$$

정규분포는 $x$와 $40-x$의 중점에 대해 대칭이므로

$$m_{1}=\dfrac{x+(40-x)}{2}=20$$

$Z_{1}=\dfrac{X-20}{\sigma_{1}}$, $Z_{2}=\dfrac{Y-m_{2}}{\sigma_{2}}$라 하면 $Z_{1}$, $Z_{2}$는 표준정규분포를 따릅니다.

$$P\!\left(Z_{2}\le\dfrac{x-m_{2}}{\sigma_{2}}\right) =P\!\left(Z_{1}\le\dfrac{x+10-20}{\sigma_{1}}\right) =P\!\left(Z_{1}\le\dfrac{x-10}{\sigma_{1}}\right)$$

모든 $x$에 대해 성립하려면

$$\dfrac{1}{\sigma_{2}}=\dfrac{1}{\sigma_{1}},\qquad \dfrac{m_{2}}{\sigma_{2}}=\dfrac{10}{\sigma_{1}}$$

$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}>0$이므로 $\sigma_{1}=\sigma_{2}$, $m_{2}=10$.

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합산 확률 $0.4772$

$X\sim N(20,\sigma_{2}^{2})$, $Y\sim N(10,\sigma_{2}^{2})$ ($\sigma_{1}=\sigma_{2}$).

$P(15\le X\le 20)$는 중심 $20$에서 아래쪽 $5$만큼이므로, $Y$의 $P(5\le Y\le 10)$과 같아요.

$Y$는 $m_{2}=10$에 대해 대칭이므로

$$P(5\le Y\le 10)=P(10\le Y\le 15)$$

따라서

$$\begin{aligned} &P(15\le X\le 20)+P(15\le Y\le 20) \\ &=P(5\le Y\le 10)+P(15\le Y\le 20) \\ &=P(10\le Y\le 15)+P(15\le Y\le 20) \\ &=P(10\le Y\le 20) \end{aligned}$$ $$P(10\le Y\le 20) =P\!\left(0\le Z_{2}\le\dfrac{20-10}{\sigma_{2}}\right) =P\!\left(0\le Z_{2}\le\dfrac{10}{\sigma_{2}}\right)=0.4772$$

표에서 $P(0\le Z\le 2)=0.4772$이므로

$$\dfrac{10}{\sigma_{2}}=2 \quad\Rightarrow\quad \sigma_{2}=5$$

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$m_{1}+\sigma_{2}$

$$m_{1}+\sigma_{2}=20+5=25$$

따라서 구하는 값은 $\boxed{25}$예요.