2025학년도 수능 28번

(가)에서 가능한 $(f(1),f(6))$

$6$의 약수는 $1,2,3,6$이고, $f(1),f(6)\in X$이므로 곱 $f(1)f(6)\in\{1,2,3,6\}$이어야 해요.

후보: $(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(2,3)$ 등.

(나) $2f(1)\le f(2)\le\cdots\le f(5)\le 2f(6)$과 함께 보면, 실제로 가능한 것은 아래 $5$가지뿐이에요.

| 경우 | $(f(1),f(6))$ | $f(2)\sim f(5)$의 범위 |

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| (ⅰ) | $(1,1)$ | 모두 $2$ |

| (ⅱ) | $(1,2)$ | $2\le\cdot\le 4$ |

| (ⅲ) | $(1,3)$ | $2\le\cdot\le 6$ |

| (ⅳ) | $(1,6)$ | $2\le\cdot\le 6$ ($2f(6)=12$이나 값은 $X$ 안) |

| (ⅴ) | $(2,3)$ | $4\le\cdot\le 6$ |

예: $(2,1)$이면 $2f(1)=4>2f(6)=2$로 (나) 불가, $(3,2)$는 곱 $6$이지만 $2f(1)=6>4=2f(6)$로 불가.

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경우별 개수

(ⅰ) $(1,1)$

$2\le f(2)=\cdots=f(5)\le 2$ → $f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=2$ (**$1$**가지)

(ⅱ) $(1,2)$ — $2\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)\le 4$

값은 $\{2,3,4\}$에서 비내림으로 $4$개 선택:

$${}_{3}H_{4}={}_{6}C_{4}=15$$

(ⅲ) $(1,3)$ — $2\le\cdot\le 6$

$${}_{5}H_{4}={}_{8}C_{4}=70$$

(ⅳ) $(1,6)$ — 범위는 (ⅲ)와 같음 ($f(5)\le 6$)

$$70$$

(ⅴ) $(2,3)$ — $4\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)\le 6$

$${}_{3}H_{4}=15$$

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전체 개수

$$1+15+70+70+15=171$$

따라서 정답은 ②예요.