2024학년도 6월 모평 29번

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문제

그림과 같이 $2$ 장의 검은색 카드와 $1$ 부터 $8$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $8$ 장의 흰색 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 일렬로 배열할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 검은색 카드는 서로 구별하지 않는다.) [4점]

조건

(가) 흰색 카드에 적힌 수가 작은 수부터 크기순으로 왼쪽에서 오른쪽으로 배열되도록 카드가 놓여 있다.

(나) 검은색 카드 사이에는 흰색 카드가 $2$ 장 이상 놓여 있다.

(다) 검은색 카드 사이에는 $3$ 의 배수가 적힌 흰색 카드가 $1$ 장 이상 놓여 있다.

정답 체크

힌트 및 풀이

STEP 힌트

(가) 때문에 흰색 카드는 항상 $1,2,\ldots,8$ 순서로 놓여요. 검은색 카드만 끼워 넣으면 되고, 왼쪽·가운데·오른쪽 흰색 장수를 $a,b,c$ 라 두면 $a+b+c=8$ 이에요.
**(나)**에서 가운데 $b\ge 2$ 이므로 $b=b'+2$ 로 두고 $a+b'+c=6$ 의 음이 아닌 정수해 개수를 중복조합 ${}_{3}H_{6}=28$ 로 구할 수 있어요.
가운데 $b$ 장은 수로 $\{a+1,a+2,\ldots,a+b\}$ 예요. **(다)**를 어기는 것은 가운데가 $\{1,2\}$ , $\{4,5\}$ , $\{7,8\}$ 인 경우뿐이에요. $28$ 에서 $3$ 을 빼 보세요.

최종 풀이

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

**(가)**에 따라 흰색 카드는 왼쪽부터 $1,2,\ldots,8$ 순으로 놓이므로, 배열은 검은색 카드 $2$ 장의 위치만 정하면 돼요.

[흰 $a$ 장] — 검 — [흰 $b$ 장] — 검 — [흰 $c$ 장]

a+b+c=8\qquad(a,b,c\ge 0)

(나) $b\ge 2$ . $b=b'+2$$(b'\ge 0)$ 로 두면

a+b'+c=6

음이 아닌 정수 $(a,b',c)$ 의 개수는 아래와 같아요.

{}_{3}H_{6}={}_{8}C_{2}=28

(다) 가운데 $b$ 장에 적힌 수는 $a+1,a+2,\ldots,a+b$ 이므로, $3$ 또는 $6$ 이 하나도 없으려면 가운데 구간이 다음뿐이에요.

가운데 수	$(a,b,c)$
$\{1,2\}$	$(0,2,6)$
$\{4,5\}$	$(3,2,3)$
$\{7,8\}$	$(6,2,0)$

제외할 경우는 $3$ 가지뿐이에요. 따라서

28-3=25

따라서 구하는 경우의 수는 $\boxed{25}$ 예요.

출제 경향

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

44회 (9.8%)

개념 출제

14회 (3.1%)

개념 출제 (회차 기준)

14회 (93.3%)

같은 개념의 평균 난이도는 4.21 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 5 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 9회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 2회 난이도 3: 0회 난이도 4: 5회 난이도 5: 7회

2024학년도 6월 모평 29번

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힌트 및 풀이

STEP 힌트

최종 풀이

출제 경향

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