모든 정수 k에 대해
2k−8≤2f(k+2)−f(k)≤4k2+14k⋯⋯㉠
양쪽이 같아지는 k
㉠의 양끝이 같으려면
2k−8=4k2+14k
4k2+12k+8=0⇒(k+1)(k+2)=0
따라서 k=−2 또는 k=−1이에요.
**k=−2**일 때 양끝은 모두 −12이므로
2f(0)−f(−2)=−12⇒f(0)−f(−2)=−24⋯⋯㉡
**k=−1**일 때 양끝은 모두 −10이므로
2f(1)−f(−1)=−10⇒f(1)−f(−1)=−20⋯⋯㉢
f(x)=x3+ax2+bx+c
최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로
f(x)=x3+ax2+bx+c
(a, b, c는 상수)
f(0)−f(−2)f(1)−f(−1)=c−(−8+4a−2b+c)=8−4a+2b,=(1+a+b+c)−(−1+a−b+c)=2+2b
㉡, ㉢에서
8−4a+2b=−24,2+2b=−20
두 번째 식에서 b=−11. 첫 식에 대입하면
8−4a−22=−24⇒a=25
f′(3)
f′(x)=3x2+2ax+b=3x2+5x−11
f′(3)=3⋅9+5⋅3−11=27+15−11=31
따라서 구하는 값은 31예요.
