2024학년도 수능 14번

집중 모드가 켜져 있습니다. STEP 힌트와 최종 풀이는 계속 볼 수 있고, 관련 문제는 숨겨집니다.

문제

두 자연수 $a$ , $b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는

f(x) = \begin{cases} 2x^{3} - 6x + 1 & (x\le 2) \\ a(x - 2)(x - b) + 9 & (x\gt 2) \end{cases}

이다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $y = f(x)$ 의 그래프와 직선 $y = t$ 가 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자.

$\displaystyle g(k) + \lim\limits_{t \rightarrow k -}\ g(t) + \lim\limits_{t \rightarrow k +}\ g(t) = 9$

를 만족시키는 실수 $k$ 의 개수가 $1$ 이 되도록 하는 두 자연수 $a$ , $b$ 의 순서쌍 $(a, b)$ 에 대하여 $a + b$ 의 최댓값은? [4점]

선택지를 클릭하면 바로 채점됩니다.

$x\le 2$ 에서 $h(x)=2x^{3}-6x+1$ 의 증감표를 그려 극값 $5$ (극대), $-3$ (극소)를 확인해요. $x>2$ 에서는 포물선 $a(x-2)(x-b)+9$ 가 점 $(2,9)$ , $(b,9)$ 를 지나요.
$b=1$ 또는 $b=2$ 이면 $-3<k<5$ 에서 항상 $g(k)=\displaystyle\lim_{t\to k^-}g(t)=\displaystyle\lim_{t\to k^+}g(t)=3$ 이라 조건을 만족하는 $k$ 가 무수히 많아요. $b\ge 3$ 일 때 꼭짓점의 $y$ 좌표가 $-3$ 인 경우를 따져 보세요.
$b\ge 3$ 이고 $f\!\left(\dfrac{b+2}{2}\right)=-3$ 이면 $k=-3$ 에서만 $g(-3)+\displaystyle\lim_{t\to -3^-}g(t)+\displaystyle\lim_{t\to -3^+}g(t)=3+1+5=9$ 가 돼요. $a(b-2)^{2}=48$ 을 자연수 $(a,b)$ 로 나눠 $a+b$ 의 최댓값을 구해요.

모든 STEP 힌트를 공개하면 풀이를 열 수 있습니다.

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$
$h'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h(x)$		$5$		$-3$		$5$

현재 문항과 같은 분류(단원/개념) 기준으로 출제 빈도와 난이도 분포를 집계했습니다.

단원 출제

81회 (18.0%)

개념 출제

14회 (3.1%)

개념 출제 (회차 기준)

11회 (73.3%)

같은 개념의 평균 난이도는 4.64 이고, 가장 자주 출제된 난이도는 5 입니다. 최근 3개년 기준 출제는 7회 입니다.

난이도 1: 0회 난이도 2: 0회 난이도 3: 0회 난이도 4: 5회 난이도 5: 9회